Αντιπαράδειγμα σε γενικευμένο ολοκλήρωμα

Mulder · #1

Ζητώ μια βοήθεια από το

. Υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f:R\to [0,+\infty)$ ώστε το $\int_{0}^{\infty} f(t)dt$ να είναι πραγματικός αριθμός , αλλά το όριο $\lim_{t\to +\infty} f(t)$ να μην υπάρχει ;

(Aν δεν είναι συνεχής έχω βρει αρκετά αντιπαραδείγματα.)

Επίσης υπάρχει τέτοια συνεχής συνάρτηση με την επιπλέον ιδιότητα f(n)>a>0

για κάποιο $a\in R$ και για κάθε $n\in N$ ?

Σε κάθε περίπτωση, αν $f(t)\geq 0$ και το $\int_{0}^{\infty} f(t)dt$ υπάρχει , υπάρχει τότε κατ΄ανάγκη ακολουθία (x_n)

στο

με $x_n\to +\infty$ και $f(x_n)\to 0$ . Αν ναι, γίνεται να μου το αποδείξει κάποιος αυτό α)με απαγωγή σε άτοπο και β)με κατασκευή ;

(δεν είναι κάποια άσκηση βιβλίου,απλά αναρωτιέμαι τι γίνεται όταν έχουμε αυτά τα δεδομένα για την

- και είναι ισοδύναμο με αντίστοιχο προβληματισμό σχετικά με τη παράγωγο αντί για ολοκλήρωμα , επίσης θυμίζει κάπως και κάποιες ιδιότητες των σειρών, άρα πρέπει να είναι σημαντικό)

#2

Mulder έγραψε:....
Σε κάθε περίπτωση, αν $f(t)\geq 0$ και το $\int_{0}^{\infty} f(t)dt$ υπάρχει , υπάρχει τότε κατ΄ανάγκη ακολουθία στο με $x_n\to +\infty$ και $f(x_n)\to 0$ . Αν ναι, γίνεται να μου το αποδείξει κάποιος αυτό α)με απαγωγή σε άτοπο και β)με κατασκευή ;
...

Αν η

είναι συνεχής, αυτό ισχύει.

Για κάθε $n\geq 1$ , από το ΘΜΤ Ολοκληρωτικού λογισμού υπάρχει $x_n\in [n,2n]$ τέτοιο ώστε

$f(x_n)=\dfrac{\int_n^{2n}f(t)\,dt}{n}$

Αφού $f(t)\geq 0$ για κάθε $t\geq 0$ και το $\int_{0}^{\infty} f(t)dt$ συγκλίνει έχουμε

$0\leq f(x_n) \leq \dfrac{\int_{0}^{\infty} f(t)dt}{n}$ .

Αφήνοντας $n\to +\infty$ από το κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι

$\displaystyle{\lim_{n\to +\infty} f(x_n)=0}$ ,

ενώ $x_n\geq n$ για κάθε $n\in \mathbb{N}$ , κι άρα

$\displaystyle{\lim_{n\to +\infty} x_n=+\infty}$

Ελπίζω, αυτό να απαντά σε κάποιο από τα ερωτήματά σου.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Mulder · #3

Ναι, αν η

είναι συνεχής τότε το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με τα δεδομένα $g'(t)\geq 0$ και οτι υπάρχει το $\lim_{t\to +\infty} g(t)$ ,

οπότε με Θ.Μ.Τ. στα [n,n+1]

κατασκευάζεις την ακολουθία $g'(x_n)=g(n+1)-g(n) \to 0$ , που είναι η ίδια ιδέα με αυτά που έγραψες.

Το ενδιαφέρον για αυτό το ερώτημα είναι τι γίνεται όταν έχουμε οτι η

είναι απλά ολοκληρώσιμη . Ευχαριστώ για την ενασχόληση μέχρι εδώ.

#4

Mulder έγραψε:Υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f:R\to [0,+\infty)$ ώστε το $\int_{0}^{\infty} f(t)dt$ να είναι πραγματικός αριθμός , αλλά το όριο $\lim_{t\to +\infty} f(t)$ να μην υπάρχει ;

(Aν δεν είναι συνεχής έχω βρει αρκετά αντιπαραδείγματα.)

Ναι υπάρχει. Το στάνταρ παράδειγμα είναι η $f(t) = \sin (t^2)$ . Δεν γράφω την απόδειξη γιατί είναι αργά και, κυρίως, γιατί υπάρχει στα βιβλία. Πάντως βασίζεται στη αλλαγή μεταβλητής x^2=y

.
Ένας άλλος τρόπος να φτιάξεις παράδειγμα είναι να ορίσεις την

σταθερή

στο

και να εκμεταλλευτείς τα μεσοδιαστήματα για να επεκτείνεις την

σε συνεχή αλλά φροντίζοντας να είναι να είναι κυρίως ίση με

(χρειάζεται απότομο πέσιμο λίγο μετά το n+1/n^3

).

Φιλικά,

Μιχάλης

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Mulder έγραψε:Υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f:R\to [0,+\infty)$ ώστε το $\int_{0}^{\infty} f(t)dt$ να είναι πραγματικός αριθμός , αλλά το όριο $\lim_{t\to +\infty} f(t)$ να μην υπάρχει ;

(Aν δεν είναι συνεχής έχω βρει αρκετά αντιπαραδείγματα.)
Ναι υπάρχει. Το στάνταρ παράδειγμα είναι η $f(t) = \sin (t^2)$ . Δεν γράφω την απόδειξη γιατί είναι αργά και, κυρίως, γιατί υπάρχει στα βιβλία. Πάντως βασίζεται στη αλλαγή μεταβλητής ...).

Φιλικά,

Μιχάλης

Πράγματι, κλασσικό παράδειγμα! Έπρεπε να το σκεφτούμε....

Ας παρατηρήσουμε ότι η

στο παράδειγμα του κ. Μιχάλη δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής. Διότι για ομοιόμορφα συνεχή συνάρτηση ο ισχυρισμός ισχύει. Ψάξε στο internet για Barbalat's lemma

π.χ. δες σελ. 97 στο http://rms.unibuc.ro/gazeta/gma/2011/gm ... ntinut.pdf

ή δες το http://mathproblems123.wordpress.com/20 ... ats-lemma/

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αντιπαράδειγμα σε γενικευμένο ολοκλήρωμα

Αντιπαράδειγμα σε γενικευμένο ολοκλήρωμα

Re: Αντιπαράδειγμα σε γενικευμένο ολοκλήρωμα

Re: Αντιπαράδειγμα σε γενικευμένο ολοκλήρωμα

Re: Αντιπαράδειγμα σε γενικευμένο ολοκλήρωμα

Re: Αντιπαράδειγμα σε γενικευμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση