μεσημεριανό ολοκλήρωμα 45

#2

Με παραγώγιση της σειράς $\displaystyle{\frac{1}{{1 + x}} = \sum\limits_0^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^n}} }$ προκύπτει ότι $\displaystyle{\frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}{x^{n - 1}}} }$ .

Τότε $\displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{{{\ln }^2}x}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}dx} = \int\limits_0^1 {{{\ln }^2}x\sum\limits_{n = 1}^\infty {n{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}{x^{n - 1}}} dx} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\int\limits_0^1 {{{\ln }^2}x \cdot {x^{n - 1}}dx} } = \mathop = \limits^{\left[ 1 \right]} = }$

$\displaystyle{ = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\frac{2}{{{n^3}}}} = 2\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{n^2}}}} = \mathop = \limits^{\left[ 2 \right]} = 2\frac{{{\pi ^2}}}{{12}} = \frac{{{\pi ^2}}}{6}}$ .

$\displaystyle{\left[ 1 \right]:}$ Παρογοντική ολοκλήρωση με όρια , $\displaystyle{\left[ 2 \right]:}$ Ότι ισχύει $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{n^2}}}} = \frac{{{\pi ^2}}}{{12}}}$ .. το έχουμε υπολογίσει πολλές φορές.

μεσημεριανό ολοκλήρωμα 45

μεσημεριανό ολοκλήρωμα 45

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 45

Μέλη σε σύνδεση