Ανισότητα για ολοκλήρωμα

#1

Αν $\displaystyle{I_{n}=\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{1+x^{n+1}}\,dx}$ με n>0

, δείξτε ότι $\displaystyle{\frac{\ln2}{n}<I_{n}<\frac{\ln2}{n}+\frac{1}{4n^2}}$ .

dement · #2

Ισχύει (με $\displaystyle x \to \frac{1}{x}$ ) $\displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{x^{n-1}}{1 + x^{n+1}} dx$ οπότε

$\displaystyle n I_n = \int_0^1 \frac{n x^{n-1}}{1 + x^{n+1}} dx = \int_0^1 \frac{1}{1 + x^{1 + \frac{1}{n}}} dx > \int_0^1 \frac{1}{1 + x} dx = \ln 2$ .

Επίσης, από ΘΜΤ έχουμε $\displaystyle \frac{1}{1 + x^{1 + \frac{1}{n}}} - \frac{1}{1 + x} = - \frac{1}{n} \frac{x^\xi \ln x}{(1 + x^\xi)^2} < - \frac{x \ln x}{n}$ με $\displaystyle \xi \in \left( 1, 1 + \frac{1}{n} \right)$ .

Ετσι, $\displaystyle n I_n - \ln 2 = \int_0^1 \left( \frac{1}{1 + x^{1 + \frac{1}{n}}} - \frac{1}{1 + x} \right) dx < - \frac{1}{n} \int_0^1 x \ln x dx = \frac{1}{4n}$ .

#3

Να πω εδώ ενημερωτικά για όποιον ενδιαφέρεται ότι είναι δυνατόν να βρεθεί ολόκληρο το ανάπτυγμα Taylor του $I_{n-1}$ στο $+\infty$ . Το θέμα με αυτή τη διατύπωση το έχω στείλει σε ένα περιοδικό. Αν και όποτε δημοσιευθεί θα ενημερώσω το τόπικ να στείλει λύση αν θέλει κάποιος (στο περιοδικό).

Ανισότητα για ολοκλήρωμα

Ανισότητα για ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα για ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα για ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση