Ιδιότητα παραγώγου

#1

Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση και

σταθερός πραγματικός ώστε $f(x) \neq ax,\ \forall x \in \mathbb{R}$

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακολουθία πραγματικών $\displaystyle{(x_n)_{n \ge 1}}$ ώστε $\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}f{'}(x_n)=a}$

alex_eske · #2

Αφού

συνεχής, δίχως βλάβη $f(x)>ax , \forall x \in \mathbb{R}$ .
Αν υπάρχει $x_0 \in \mathbb{R} : f'(x_0)=a$ τελειώσαμε. Αν όχι, από την ιδιότητα Darboux της παραγώγου διακρίνω τις περιπτώσεις:
(α) $f'(x)>a, \forall x \in \mathbb{R}$ . Τότε ισχύει $a=\inf_{x \in \mathbb{R}}f'(x)$ :
Aν δεν ισχύει αυτό υπάρχει e>0

με $f'(x)>a+e, \forall x \in \mathbb{R}$ . Άρα για χ<0:
f(x)-ax<ex+f(0)

: άτοπο αφού $f(x)-ax>0, \forall x \in \mathbb{R}$ .
(b) $f'(x)<a, \forall x \in \mathbb{R}$ . Όμοια είναι $a=\sup_{x \in \mathbb{R}}f'(x)$ :
Aν όχι, υπάρχει e>0

με $f'(x)<a-e, \forall x \in \mathbb{R}$ . Άρα για χ>0:
f(x)-ax<-ex+f(0)

: άτοπο όπως πριν.

#3

Ιδιότητα παραγώγου

Ιδιότητα παραγώγου

Re: Ιδιότητα παραγώγου

Re: Ιδιότητα παραγώγου

Μέλη σε σύνδεση