Αποτέλεσμα ολοκληρώματος με την σταθερά Apéry.

Ωmega Man · #1

Να αποδείξετε ότι,

$\displaystyle{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\coth(x)}{x^3}-\frac{1}{3x^2}-\frac{1}{x^4}\;dx=-\frac{2}{\pi^2}\zeta(3)}$

το έχω λύσει με μιδική ανάλυση θα ήθελα πρώτα να δώ κάποιον άλλο τρόπο.

kwstas12345 · #2

Γράφω μια λύση με μιγαδική. Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle f\left(z \right)=\frac{\coth\left(z \right)}{z^3}-\frac{1}{3z^2}-\frac{1}{z^4}, z\neq k \pi i , k \in \mathbb{Z}_{+}$ στο άνω ημικυκλιο

,ακτίνας

, στο οποίο είναι μερόμορφη. H συναρτησή μας αφού καντικαταστήσουμε την $\displaystyle \coth\left(z \right)=\frac{e^{z}+e^{-z}}{e^{z}-e^{-z}}$ , μετα από ορισμένες πράξεις θα έχουμε $\displaystyle f\left(z \right)=\frac{3\left(e^{2z}+1 \right)x-3\left(e^{2x}-1 \right)-\left(e^{2x}-1 \right)}{e^{2z}-1}$ .

Η

έχει πόλους στα σημεία $\displaystyle z=k \pi i , k \in \mathbb{Z}_{+}$ στο άνω ημιεπίπεδο, με $\displaystyle Res\left(f,k\pi \right)=\lim_{z\rightarrow k \pi i}\frac{z-k\pi i}{e^{2z}-1}\left(3\left(e^{2z}+1 \right)x-\left(e^{2z}-1 \right)\left(x^2+3 \right) \right)\left(3z^{4} \right)^{-1}=$ $\displaystyle =\frac{i}{k^3\pi^3}$ .

Άρα από το θεώρημα των ολοκληρωτικων υπολοίπων έχουμε $\displaystyle \int_{C}f\left(z \right)dz=\int_{-R}^{R}{f\left(z \right)dz}+\int_{0}^{\pi }{iRe^{it}f\left(Re^{it} \right)}dt=2\pi i \sum_{k<R/\pi} {Res\left(f,k \pi i \right)}$ . Όμως $\displaystyle \lim_{R\rightarrow \infty}\int_{0}^{\pi}{f\left(Re^{it} \right)iRe^{it} dt}=0$ .

$\displaystyle \left|\int_{0}^{\pi}{\frac{e^{it}\left(\left(3Re^{it}\left(e^{2Re^{it}}+1 \right)-\left(R^2e^{2it}+3 \right)\left(e^{2Re^{it}} -1 \right) \right) \right)}{3R^3e^{4it}\left(e^{2Re^{it}}-1 \right)}}dt \right|\leqslant$ $\displaystyle \int_{0}^{\pi }{\frac{3R\left(\left|e^{2Re^{it}} \right|+1 \right)+\left(R^2+3 \right)\left(\left|e^{2Re^{it}} \right|+1 \right)}{3R^{3}\left|\left|e^{2Re^{it}} \right|-1 \right|}}dt=\int_{0}^{\pi}{\frac{\left(R^2+3R+3 \right)\left(e^{2R \cos t}+1 \right)}{3R^3 \left(e^{2R \cos t}-1 \right)}}dt=$

$\displaystyle \frac{R^2+3R+3}{3R^3}\left(\pi+2 \pi \cdot \frac{e^{-2R}+1}{e^{-2R}-1} \right)\rightarrow 0$ . Επίσης το

είναι απαλείψιμο σημείο αφού $\displaystyle \lim_{z\rightarrow 0}f\left(z \right)=0$ , μετά από κάποια D'Hospital, και έτσι δεν περιλαμβάνεται στους πόλους.

Τελικά: $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{\left(\frac{\coth\left(x \right)}{x^3}-\frac{1}{3x^{4}}-\frac{1}{x^{4}} \right)}dx=2\pi i\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{i}{\pi^3 k^{3}}}=-2\pi^{-2} \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{ k^{3}}}=$ $\displaystyle -\frac{2}{\pi^2 }\zeta \left(3 \right)\Rightarrow \int_{-\infty}^{\infty}{\left(\frac{\coth\left(x \right)}{x^3}-\frac{1}{3x^{4}}-\frac{1}{x^{4}} \right)}dx=-\frac{2}{\pi ^2}\zeta \left(3 \right)$ .

Edit: Διόρθωση ορθογραφικού λάθους

Ωmega Man · #3

Εντάξει Κώστα πολύ ωραία περιμένω και λύση με πραγματική ανάλυση!

Αποτέλεσμα ολοκληρώματος με την σταθερά Apéry.

Αποτέλεσμα ολοκληρώματος με την σταθερά Apéry.

Re: Αποτέλεσμα ολοκληρώματος με την σταθερά Apéry.

Re: Αποτέλεσμα ολοκληρώματος με την σταθερά Apéry.

Μέλη σε σύνδεση