Γενικευμένο ολοκλήρωμα - απορία

parmenides51 · #1

Πως υπολογίζεται το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{\sqrt{x}e^{-x}dx}}$ ;

#2

parmenides51 έγραψε:Πως υπολογίζεται το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{\sqrt{x}e^{-x}dx}}$ ;

Θέτουμε $\sqrt x =y$ οπότε το δοθέν ισούται

$\displaystyle = 2\int_0^{\infty} y^2 e^{-y^2}dy = -\int_0^{\infty} y \left(e ^{-y^2}\right){'} dy = -\left [y e^{-y^2} \right]_0^{\infty} + \int _0^{\infty} e^{-y^2}dy$

$\displaystyle = 0 +\int _0^{\infty} e^{-y^2}dy$

To τελευταίο ολοκλήρωμα είναι γνωστό ( $= \frac {\sqrt {\pi}}{2}$ ). Είναι κάπως δύσκολο να βγει, αλλά υπάρχουν πολλές ευφυέστατες μέθοδοι εύρεσης. Θυμάμαι ότι πρόσφατα ο Ροδόλφος (BORIS) είναι βάλει μία στοιχειώδη μέθοδο στο φόρουμ.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

parmenides51 έγραψε:Πως υπολογίζεται το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{\sqrt{x}e^{-x}dx}}$ ;

Είναι με παραγοντική

$\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{\sqrt{x}e^{-x}dx}=-e^{-x}\sqrt{x}\Big|_{0}^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}{\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{-x}dx}.}$

Εύκολα έχουμε

$\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}e^{-x}\sqrt{x}=0}$ (π.χ. L'Hospital).

Αν κάνουμε στο ολοκλήρωμα την αλλαγή $\displaystyle{\sqrt{x}=t,}$ αναγόμαστε στο

$\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2dx}}$ το οποίο είναι γνωστό ότι ισούται με $\displaystyle{\frac{\sqrt{\pi}}{2}.}$

Άρα αυτή είναι η τιμή που ψάχνουμε.

EDIT* Με πρόλαβε ο κ. Λάμπρου, αλλά το αφήνω.

#4

viewtopic.php?f=56&t=762

parmenides51 · #5

Ευχαριστώ, είχα ξεχάσει πως με μη λυκειακά μέσα υπολογίζεται και το $\displaystyle{\int _0^{\infty} e^{-y^2}dy}$

caley-hamilton · #6

parmenides51 έγραψε:Πως υπολογίζεται το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{\sqrt{x}e^{-x}dx}}$ ;

Θα χρησιμοποιήσεις την περίφημη συνάρτηση Γάμμα του Euler.(Για υπενθύμηση κοίτα εδώ.)
Έχουμε: $\Gamma(x)=\displaystyle{\int_{0}^{+\infty} e^{-t} t^{x-1}dt$ .
Τώρα εμείς για να υπολογίσουμε το ζητούμενο ολοκλήρωμα θα βρούμε το $\displaystyle\Gamma(\frac{3}{2})$ .Eπίσης θεωρούμε γνωστά: $\displaystyle\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$ και $\displaystyle\Gamma(x+1)=x\Gamma(x).$
Oπότε $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{\sqrt{t}e^{-t}dx}}=\displaystyle\Gamma(\frac{3}{2})=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}}{2}}.$

Edit:Γράφω αργά και με πρόλαβαν αρκετοί...Την αφήνω για το κόπο μου και μόνο....Μπράβο σ'όλους στο

.

parmenides51 · #7

Με δυναμοσειρές υπολογίζεται το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}{\sqrt{x}e^{-x}dx}}$ ;

Γενικευμένο ολοκλήρωμα - απορία

Γενικευμένο ολοκλήρωμα - απορία

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα - απορία

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα - απορία

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα - απορία

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα - απορία

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα - απορία

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα - απορία

Μέλη σε σύνδεση