Ορισμένο ολοκλήρωμα

kwstas12345 · #1

Άς υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: $\displaystyle \int_{1/2}^{3/2}{\frac{7-z}{\sqrt{4z^2-8z+3}}}dz$ .

#2

kwstas12345 έγραψε:Άς υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: $\displaystyle \int_{1/2}^{3/2}{\frac{7-z}{\sqrt{4z^2-8z+3}}}dz$ .

Θέτουμε $z-1 = \frac{1}{2}\cosh y$ . Ο παρονομαστής είναι $\sqrt {4(z-1)^2-1}= \sqrt{\cosh ^2 y -1 } = \sinh y$ . To ολοκλήρωμα τώρα ισούται

$\displaystyle \int _{arc cosh h (-1)}^{arc cosh 1} \frac {6-\frac{1}{2} \cosh y}{\sinh y}\cdot \frac{1}{2}\sinh y dy= \int _{arc cosh (-1)}^{arc cosh 1}\left(3-\frac{1}{4} \cosh y \right) dy$ που είναι άμεσο.

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: Εκανα διόρθωση. Το αρχικό είχε τα sinh και cosh ανάποδα.

Ωmega Man · #3

Άλλος τρόπος επιλέγοντας κατάλληλα ορίσματα και ολοκληρώνοντας πάνω στο παρακάτω σχήμα, παίρνουμε

$\displaystyle\bf\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{2}{3}}\frac{7-x}{\sqrt{4x^2-8x+3}}\;dx=\pi i\textrm{Res}\left(\frac{7-z}{\sqrt{4z^2-8z+3}};z=+\infty\right)=-3\pi i$
.

[attachment=0]kwstas12345.png[/attachment]

kwstas12345 · #4

Γιώργο σε ευχαριστώ πολύ για το σχήμα, η προσεγγισή μου είναι με μιγαδική ανάλυση.

Με το παραπάνω σχήμα ορίσαμε την

ώστε να έχει branch-cut το $\displaystyle \left[1/2,3/2 \right]$

Για τον πρώτο κύκλο ορίζουμε όρισμα $\displaystyle -\pi < \arg z\leqslant \pi$ ενώ για τον δεύτερο κύκλο ορίζουμε $\displaystyle 0< \arg z\leqslant 2\pi$ . Θα αποδείξουμε αρχικά ότι η μιγαδική συνάρτηση $\displaystyle f\left(z \right):=\frac{7-z}{\sqrt{-4z^2+8z-3}}$

είναι συνεχής κατα μήκος του $\displaystyle \left(-\infty,1/2 \right)$ . Όταν κινούμαστε πάνω από την λωρίδα $\displaystyle \left(-\infty,1/2 \right)$ (τείνοντας να ''πέσουμε'' πάνω σε αυτή) έχουμε $\displaystyle z-\frac{1}{2}=\left|z-\frac{1}{2} \right|e^{i\pi},z-\frac{3}{2}=\left|z-\frac{3}{2} \right|e^{2\pi i }$ .

Άρα $\displaystyle f_{+}\left(z \right)=\frac{7-z}{\sqrt{\left|4z^2-8z+3 \right|e^{3\pi i}}}=\frac{i\left(7-z \right)}{\sqrt{\left|4z^2-8z+3 \right|}}$ . Όταν κινούμαστε από την κάτω μεριά έχουμε $\displaystyle z-\frac{1}{2}=\left|z-\frac{1}{2} \right|e^{-\pi i},z-\frac{3}{2}=\left|z-\frac{3}{2} \right|e^{0}$

άρα $\displaystyle f_{-}\left(z \right)=\frac{7-z}{\sqrt{\left|4z^2-8z+3 \right|}e^{-\pi i/2}}=\frac{i\left(7-z \right)}{\sqrt{\left|4z^2-8z+3 \right|}}$ και έτσι $\displaystyle f_{+}\left(z \right)=f_{-}\left(z \right)$ άρα είναι συνεχής στην λωρίδα $\displaystyle \left(-\infty,1/2 \right)$ . Άρα η

είναι συχεχής σε όλο το $\mathbb{C}$ εκτός από το $\displaystyle \left[1/2,3/2 \right]$ .

Συγκεκριμένα όταν κινούμαστε πάνω στην πράσινη γραμμή (από την πάνω μεριά) από τον δεξί προς τον αριστερό κύκλο έχουμε $\displaystyle f_{+} \left(z \right)=\frac{7-z}{\sqrt{\left|2z-1 \right|\left|3-2z \right|e^{2\pi i}}}=-\frac{7-z}{\sqrt{-4z^2+8z-3}}$ . Ενώ όταν κινούμαστε από την κάτω λωρίδα από τον αριστερό πρός τον δεξί: $\displaystyle f_{-}\left(z \right)=\frac{7-z}{\sqrt{\left|3-2z \right|\left|2z-1 \right|}}=\frac{7-z}{\sqrt{-4z^2+8z-3}}$ .

Έτσι έχουμε στον δρόμο ολοκλήρωσης: $\displaystyle \oint_{C_{1}} f\left(z \right)dz+\oint_{C_{2}} f\left(z \right)dz+2\int_{1/2}^{3/2}{\frac{7-z}{\sqrt{-4z^2+8z-3}}}dz=-2\pi iRes\left(f,\infty \right)$ . Όμως $\displaystyle \oint_{C_{1}} f\left(z \right)dz=\int_{0}^{2\pi}{ide^{it}f\left(de^{it} \right)}dt=\int_{0}^{2\pi}{\frac{de^{it}\left(7-de^{it} \right)}{\sqrt{-4d^2e^{2it}+8de^{it}-3}}}dt$ .

Και $\displaystyle \left|\int_{0}^{2\pi}{\frac{de^{it}\left(7-de^{it} \right)}{\sqrt{-4d^2e^{2it}+8de^{it}-3}}}dt \right|\leqslant \int_{0}^{2\pi }{\frac{7d+d^2}{\sqrt{\left|4d^2-8d-3 \right|}}}=\frac{2\pi\left(7d+d^2 \right)}{\sqrt{\left|4d^2-8d-3 \right|}}\rightarrow$

όταν $\displaystyle d\rightarrow 0$ . Όμοια $\displaystyle \oint_{C_{2}} f\left(x \right)dz=0$ . Aρα $\displaystyle \int_{1/2}^{3/2}{\frac{7-z}{\sqrt{-4z^2+8z-3}}}dz=-\pi i Res\left(f,\infty \right)$ .

Όμως είναι γνωστό ότι $\displaystyle Res\left(f,\infty \right)=Res\left(-\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z} \right) ,0\right)=a_{-1}$ όπου $a_{-1}$ είναι ο συντελεστής του $z^{-1}$ στο ανάπτυγμα Laurent της $\displaystyle -\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z} \right)$ .

Είναι γνωστό ότι: $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}{\binom{2k}{k}}x^k=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}, \left|x \right|<\frac{1}{4}$ . Επειδή: $\displaystyle -\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z} \right)=-\frac{1}{2}e^{-\pi i/2} \left(\frac{7}{z}-\frac{1}{z^2} \right)\left(\left(1-\frac{z}{2} \right)\left(1-\frac{3}{2}z \right) \right)^{-1/2}$ .

Έτσι $\displaystyle \frac{1-7z}{z^2\sqrt{-3z^2+8z-4}}=i\left(\frac{1}{2z^2}-\frac{7}{2z} \right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}{\binom{2k}{k}}8^{-k}x^k\right)\cdot\left(\sum_{k=0}^{\infty}{\binom{2k}{k}}\left(\frac{3}{8} \right)^kx^k\right)$ $\displaystyle =i\left(\frac{1}{2z^2}-\frac{7}{2z} \right)\left(1+\frac{x}{4}+\frac{3}{32}x^2+... \right)\left(1+\frac{3}{4}x+\frac{27}{32}x^2+... \right)$ .

Από τις δυο τελευταίες παρενθέσεις θέλουμε μόνο τον $\displaystyle x+1$ , και αφού πολλαπλασιαστεί με όλα τα υπόλοιπα ο ζητούμενος συντελεστής είναι ο $\displaystyle 3i$ . Άρα $\displaystyle \int_{1/2}^{3/2}{\frac{7-z}{\sqrt{-4z^2+8z-3}}}dz=-\pi i\left(3i \right)=3\pi$

και έτσι $\displaystyle \int_{1/2}^{3/2}{\frac{7-z}{\sqrt{4z^2-8z+3}}}dz=3\pi e^{-\pi i/2}=-3\pi i\Rightarrow \boxed{\int_{1/2}^{3/2}{\frac{7-z}{\sqrt{4z^2-8z+3}}}dz=-3\pi i}$

Ωmega Man · #5

Μπράβο Κώστα έκανες ωραία ανάλυση!

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση