ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗΣ 1976

#1

Α΄ΕΔΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΕΩΣ 7 Νοεμβρίου 1976

ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Σ. ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗΣ 11πμ-2μμ

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΕΩΣ

δευτεροετών έτους 75-76

Θ Ε Μ Α Τ Α

Α-1 (α) Δώστε τους ορισμούς, παραδείγματα και αντιπαραδείγματα από τις έννοιες:
συμπαγής μετρικός χώρος, πλήρης μ.χ, συνεκτικός μ.χ
(β) Αποδείξτε ότι αν

,

είναι μετρικοί χώροι και $f:M\rightarrow N$ συνεχής και επί, τότε:
(1) Αν

είναι συμπαγής θα είναι και ο

συμπαγής
(2) Αν

είναι συνεκτικός θα είναι και ο

συνεκτικός.

Α-2 (α) Δώστε προσεκτικά την έννοια του ολοκληρώματος και αποδείξτε το βασικό κριτήριο του Riemann υπάρξεως του ολοκληρώματος.
(β) Ορίσατε πλήρως την κύμανση συναρτήσεως. Αποδείξτε λεπτομερώς ότι μια συνάρτηση είναι φραγμένης κυμάνσεως τότε και αντιστρόφως γράφεται σαν διαφορά δύο αυξουσών συναρτήσεων.

Α-3 (α) Δώστε τον ορισμό και αποδείξτε το μονοσήμαντο του διαφορικού μιας συναρτήσεως $f:{\mathbb{R}}^{n}\rightarrow {\mathbb{R}}^{m}$ σε κάποιο σημείο ρ του ${\mathbb{R}}^{n}$ .
(β) Διατυπώστε προσεκτικά τα θεωρήματα: αντιστρόφου συναρτήσεως, πεπλεγμένης συναρτήσεως του διαφορικού λογισμού. Ελέγξατε για τη συνάρτηση $f(x)=\frac{x}{2}+x^{2}\,\sin\frac{1}{x}, x\neq 0$ και f{'}(0)=0

στο σημείο 0 αν ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος αντιστρόφου συναρτήσεως και αν ισχύει το συμπέρασμα αυτού του θεωρήματος.

Β-1 Έστω $f:{\mathbb{R}}^{n}\rightarrow {\mathbb{R}}$ και $\alpha \in {\mathbb{R}}^{n}$ . Αποδείξτε ότι αν σε μια ανοικτη περιοχή του α υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι της f και είναι συνεχείς στο α τότε η f είναι διαφορίσιμη στο α και υπολογίστε το διαφορικό στη θέση α.

Β-2 'Eστω $\alpha :[a,b]\rightarrow {\mathbb{R}}$ αύξουσα και συνεχής και $f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}}$ μονότονη. Τότε η f είναι ολοκληρώσιμη ως προς α επί του [a,b]

.

Β-3 (α) Δώστε με απόδειξη παράδειγμα συνεχούς συναρτήσεως σε κλειστό διάστημα που δεν είναι φραγμένης κυμάνσεως.
(β) Διατυπώστε ένα θεώρημα μέσης τιμής του ολοκληρώματος.
(γ) Υπολογίστε ταα ολοκληρώματα: $\int_{1}^{2}{x\,d({x^{2}})},\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin{x}\,d({\sin{x}})}$

Γ-1 (α) έστω Μ μ.χ , $f_{n},f:M\rightarrow {\mathbb{R}},n\in {\mathbb{N}}$ ώστε $f_{n}\rightarrow f$ ομοιόμορφα και

$(x_{n}), x\in M:x_{n}\rightarrow x$ . Απο $(f_{n})_{n\in N}$ δείξτε ότι $f_{n}(x_{n})\rightarrow f(x)$

(β) Αποδείξτε ότι η ακολουθία των συναρτήσεων $f_{n}(x)=xe^{-nx}, n=1,2,3,...$ συγκλίνει απλώς αλλά όχι ομοιόμορφα

(γ) Έστω $f_{0}:[0,1]\rightarrow {\mathbb{R}}$ συνεχής. Ορίζουμε επαγωγικά : $f_{n+1}(x)=\int_{0}^{x}{f_{n}(t)\,dt}.$ . Εξετάστε ως προς την σύγκλιση την $(f_{n})_{n\in {\mathbb{N}}}$

(Υπόδειξη: Προσπαθείστε να εφαρμόσετε το κριτήριο Weierstrass)

Γ-2 (α) Δώστε με πλήρη απόδειξη παράδειγμα συνάρτησης $f:[0,1]\rightarrow {\mathbb{R}}$ που να μην ολοκληρώνεται κατά Riemann ενώ ολοκληρώνεται η |f| και η $f^{2}$

(β) Έστω $f:[0,1]\rightarrow {\mathbb{R}}$ συνεχής , $\alpha :[0,1]\rightarrow {\mathbb{R}}$ αύξουσα και διαφορίσιμη. Ορίζουμε $F(x)=\int_{0}^{x}{f(x)\,d({\alpha (t)})},\alpha \in [0,1]$ . Αποδείξτε ότι η F παραγωγίζεται σε κάθε σημείο και ισχύει:

$F'(x)=f(x)\,\alpha{'}(x)$

(Να γραφούν 2 θέματα από την Α , 2 από την Β και 1 από την Γ ομάδα)

solars · #2

Για το Γ2 β η F(x) γράφεται σαν $\displaystyle{F(x) = f(x) \cdot \int\limits_0^x {da\left( t \right)} = f(x) \cdot \left[ {a(x) - a(0)} \right]}$ επομένως η παράγωγος θα είναι :

$\displaystyle{F'\left( x \right) = f'\left( x \right) \cdot \left[ {a\left( x \right) - a\left( 0 \right)} \right] + f(x) \cdot a'\left( x \right)}$

Λίγο διαφορετικό από το δοσμένο.

#3

solars έγραψε:Για το Γ2 β η F(x) γράφεται σαν $\displaystyle{F(x) = f(x) \cdot \int\limits_0^x {da\left( t \right)} = f(x) \cdot \left[ {a(x) - a(0)} \right]}$ επομένως η παράγωγος θα είναι :

$\displaystyle{F'\left( x \right) = f'\left( x \right) \cdot \left[ {a\left( x \right) - a\left( 0 \right)} \right] + f(x) \cdot a'\left( x \right)}$

Λίγο διαφορετικό από το δοσμένο.

Υποθέτω ότι το δοσμένο είναι $\displaystyle{F(x) = \int\limits_0^x f(\color {red} {t}$ \displaystyle{)da\left( t \right) , αλλά από τυπογραφική αβλεψία γράφτηκε

\displaystyle{F(x) = \int\limits_0^x f(\color {red} {x}} $)da\left( t \right)$ .
Επίσης να προσθέσω ότι το ολοκλήρωμα είναι Riemann-Stieljes οπότε δεν είναι "προφανείς" οι ιδιότητες.

Μ

#4

Στο έντυπο πολυγράφου όπου μας είχε μοιραστεί για να γράψουμε, βλέπω ότι το έχει όπως το έχω γράψει.
Μελετώντας τώρα την λύση, βλέπω ότι υπήρχε πράγματι τυπογραφικό λάθος, χωρίς να μας δοθεί διόρθωση.

(

Να λοιπόν γιατί το μάθημα το πέρασα μετά από 3 ή 4 προσπάθειες

)

Jeronymo Simonstone · #5

Μια απαντησούλα στα γρήγορα...

Γ-2 α) Η συνάρτηση $f=\chi_{\mathbb{Q}}-\chi_{\mathbb{Q}^c}$ , επί κάθε υποδιαστήματος

τυχούσας διαμέρισης (x_k)

, θα πληροί $\sup_{I}f=1, \ \inf_{I}f=-1$ . Οπότε τα άνω και κάτω αθροίσματα θα είναι διαφορετικά για την τυχούσα (x_k)

, και άρα δεν είναι ολοκληρώσιμη. Ενώ οι f^2=|f|=1

είναι ολοκληρώσιμες.

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗΣ 1976

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗΣ 1976

Re: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗΣ 1976

Re: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗΣ 1976

Re: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗΣ 1976

Re: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΝΕΓΡΕΠΟΝΤΗΣ 1976

Μέλη σε σύνδεση