Μετακίνηση γραφήματος, ολοκλήρωμα και όριο

#1

Έστω $f:\mathbb R\to\mathbb R$ συνεχής. Δείξτε ότι για κάθε $t\in\mathbb R$ η συνάρτηση $f_{t}(x):=|f(x+t)-f(x)|$ είναι ολοκληρώσιμη στο [0,1]

και ότι επιπλέον $\displaystyle{\lim_{t\to0}\int_{0}^{1}f_{t}(x)\,d\color{red}x\color{black}=0}$ .

Υ.Γ. Ευχαριστώ, διορθώθηκε.

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστω $f:\mathbb R\to\mathbb R$ συνεχής. Δείξτε ότι για κάθε $t\in\mathbb R$ η συνάρτηση $f_{t}(x):=|f(x+t)-f(x)|$ είναι ολοκληρώσιμη στο και ότι επιπλέον $\displaystyle{\lim_{t\to0}\int_{0}^{1}f_{t}(x)\,dt=0}$ .

(Tο ολοκλήρωμα πρέπει να είναι

. Σωστά;)

α) Για κάθε σταθερό

η συνάρτηση f_t

είναι συνεχής, άρα ολοκληρώσιμη (ως προς x).

β) Ισοδύναμα εργαζόμαστε με ακολουθίες: Έστω (t_n)

ακολουθία που συγκλίνει στο 0. Θέτουμε $\displaystyle f_{(n)} (x) = f_{t_n}(x)$ . Λόγω συνέχειας της

έχουμε κατά σημείο $\displaystyle f_{(n)} (x) = |f(x+t_n) - f(x)| \rightarrow 0$ .
Επίσης, αφού η t_n

είναι φραγμένη, έστω $-M\le t_n\le M$ , έπεται ότι $|f_{(n)}(x)| \le |f(x+t_n)|+| f(x)|\le 2K$ , όπου Κ φράγμα της

στο

.

Από θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης έχουμε $\displaystyle{\lim_{n\to \infty}\int_{0}^{1}f_{(n)}(x)\,dx= \int_{0}^{1}0\,dx=0}$ , όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

Υ.Γ. Αναστάση, μη θυμώνεις. Μάλλον ζητάς απόδειξη χωρίς βαρύ πυροβολικό, αλλά άντε βρες την...

#3

Mία ιδέα: Ας πάρουμε $t\in \left[ -1,1\right]$ . Αφού η

είναι συνεχής, στο [-1,2]

θα είναι και ομοιόμορφα συνεχής. Αν $x\in \left[ 0,1\right]$ τότε $x,x+t\in \left[ -1,2\right]$ .
Παίρνουμε $\varepsilon >0$ .
Θα υπάρχει $\delta >0$ τέτοιο ώστε για κάθε $x_{1},x_{2}\in \left[ -1,2\right]$ με $\left\vert x_{1}-x_{2}\right\vert <\delta$ να είναι
$\left\vert f\left( x_{1}\right) -f\left( x_{2}\right) \right\vert <\varepsilon$
Aν λοιπόν είναι $\left\vert t\right\vert <\delta$ τότε $\left\vert \left( x+t\right) -x\right\vert <\delta$
και $\left\vert f\left( x+t\right) -f\left( x\right) \right\vert <\varepsilon$
άρα και $\int_{0}^{1}$ $\left\vert f\left( x+t\right) -f\left( x\right) \right\vert dx <\varepsilon$
που αποδεικνύει το δεύτερο σκέλος. Το πρώτο της ολοκληρωσιμοτητας είναι άμεσο.
Μαυρογιάννης

#4

Μια απόδειξη που πατάει εν μέρει στο σκεπτικό του Μιχάλη αλλά και στου Νίκου εδώ, στο δεύτερο Θέμα.

#5

Και μια λάθος λύση, έτσι για το καλό...

Από το Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού Λογισμού έχουμε $\displaystyle{\int_{0}^{1}f_{t}(x)\,dx=|f(\xi+t)-f(\xi)|}$ για κάποιο $\xi\in(0,1)$ .

Όμως $\displaystyle{|f(\xi+t)-f(\xi)|\stackrel{t\to0}{\longrightarrow}0}$ από τη συνέχεια της

στο $\xi$ .

Πού είναι το λάθος...;

#6

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Μια απόδειξη που πατάει εν μέρει στο σκεπτικό του Μιχάλη αλλά και στου Νίκου εδώ, στο δεύτερο Θέμα.

Όσο για τον ιστότοπο που παραπέμπεις :

Εύχομαι ολόψυχα να είναι ευεμπλουτίσιμος και ευεπισκέψιμος.

#7

Θένξ Δάσκαλε!

Μετακίνηση γραφήματος, ολοκλήρωμα και όριο

Μετακίνηση γραφήματος, ολοκλήρωμα και όριο

Re: Μετακίνηση γραφήματος, ολοκλήρωμα και όριο

Re: Μετακίνηση γραφήματος, ολοκλήρωμα και όριο

Re: Μετακίνηση γραφήματος, ολοκλήρωμα και όριο

Re: Μετακίνηση γραφήματος, ολοκλήρωμα και όριο

Re: Μετακίνηση γραφήματος, ολοκλήρωμα και όριο

Re: Μετακίνηση γραφήματος, ολοκλήρωμα και όριο

Μέλη σε σύνδεση