Πολλαπλό Ολοκλήρωμα

#1

Από τον Θόδωρο Μπόλη

Να υπολογιστεί το $\displaystyle{I(m)=\int_{R^m} exp\left(-\left(x^{\prime}S^{-1}x\right)^a\right)dx}$ ,

όπου

συμμετρικός θετικά ορισμένος $m \times m$ πίνακας και a>0

peter · #2

Αν καταλαβαίνω καλά το συμβολισμό το ολοκλήρωμα είναι $\displaystyle I_m=\int_{\mathbb R^m}\exp (-(\langle x, S^{-1}x\rangle )^a)$ , όπου $\langle \cdot, \cdot \rangle$ το κανονικό εσωτερικό γινόμενο στον $\mathbb R^m$ .

Εφόσον, ο

είναι συμμετρικός θετικά ορισμένος και ο $S^{-1}$ είναι. Επίσης, για κάθε συμμετρικό θετικά ορισμένο

υπάρχει

συμμετρικός θετικά ορισμένος ώστε A=R^2

. Εφαρμόζουμε αυτό για το $S^{-1}$ άρα, το ολοκλήρωμα γράφεται $\displaystyle I_m=\int_{\mathbb R^m} \exp(-|Rx|^{2a})\, dx$ όπου $|\cdot|$ η κανονική Ευκλείδεια νόρμα.

Από αλλαγή μεταβλητής έχουμε $\displaystyle I_m=\det (R^{-1}) \int_{\mathbb R^{m}}e^{-|y|^{2a}}\, dy$ . Επίσης, είναι $\det(R^{-1})=\sqrt{\det(S)}$ και κάνοντας πολικές συντεταγμένες έχουμε: $\displaystyle I_m=m\omega_m\sqrt{\det(S)}\int_0^\infty r^{m-1}e^{-r^{2a}}\, dr$ , όπου $\omega_m$ ο όγκος της Ευκλείδειας μοναδιαίας μπάλας. (Μάλιστα είναι $\omega_m=\frac{\pi^{m/2}}{\Gamma(\frac{m}{2}+1)}$ .)

Το τελευταία με μια αλλαγή μεταβλητής ανάγεται σε ένα Γάμμα ολοκλήρωμα και βρίσκουμε $\dipslaystyle I_m=\omega_m\det(S)^{1/2}\Gamma(\frac{m}{2a}+1)$ .

tbolis · #3

Μπράβο Peter! Τέτοιου είδους ολοκληρώματα εμφανίζονται στη Στατιστική Φυσική και στη Μαθηματική Στατιστική (Multivariate Gauss Distribution).

T. S. Bolis

Ωmega Man · #4

όπου ο όγκος της Ευκλείδειας μοναδιαίας μπάλας. (Μάλιστα είναι $\displaystyle{\bf \frac{\pi^{\frac{m}{2}}}{\Gamma\left(\frac{m}{2}+1\right)})}$

Νομίζω είναι επιφανειακό εμβαδόν της $\displaystyle{\bf S^{m-1}}$ όχι όγκος και είναι $\displaystyle{\frac{2\pi^{\frac{m}{2}}}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)}}$ .

Πολλαπλό Ολοκλήρωμα

Πολλαπλό Ολοκλήρωμα

Re: Πολλαπλό Ολοκλήρωμα

Re: Πολλαπλό Ολοκλήρωμα

Re: Πολλαπλό Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση