ορισμένο ολοκλήρωμα

tbolis · #2

Έχω μια απάντηση, αλλά βαριέμαι νατη γράψω. Χρησιμοποιούνται μη στοχειώδεις συναρτήσεις.

Θ. Μπόλης

Ωmega Man · #3

tbolis έγραψε:Έχω μια απάντηση, αλλά βαριέμαι νατη γράψω. Χρησιμοποιούνται μη στοχειώδεις συναρτήσεις.

Θ. Μπόλης

Και τότε ποιος ο λόγος να γράψεις το παραπάνω;

tbolis · #4

Αν ενδιαφέρεσθε θα προσπαθήσω να βρω κάποιον να τη μεταφράσει σε Latex γιατί έχω πολύ καιρό να γράψω σ' αυτό το πρόγραμμα και γιατί τη βγάζω φτηνά με το Microsoft Equation Editor. Η λύση χρησιμοποιεί τη συνάρτηση ήτα και δεν έχει και πολύ μαθηματικό ενδιαφέρον.

Θ. Μπόλης

#5

Λύση από τον Θόδωρο Μπόλη

Θέτουμε $\displaystyle{\eta(n,x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-x)^k(k+1)^{-n}}$ , όπου $n \ge 0$ και $-1<x \le 1$

(π.χ. $\eta (0,x)=(1+x)^{-1}$ και $\eta (1,x)=ln\left|1+x\right|$ ). Τότε

$\displaystyle{\int_1^2 x^4(1+2^x)^{-1}dx=-(ln2)^{-1} \int_1^2x^4d\left(ln(1+2^{-x})\right)}$

$\displaystyle{=(ln2)^{-1}\left(\left[x^4ln(1+2^{-x})\right]_1^2-4\int_1^2x^3ln(1+2^{-x})dx\right)}$

$\displaystyle{=-(ln2)^{-1}\left(16ln\left(\frac {5}{4}\right)-ln\left(\frac {3}{2}\right)+4\int_1^2x^3 \sum_{k=0}^{\infty}\left(-2^{-x}\right)^{k+1}(k+1)^{-1}dx\right)}$

$\displaystyle{=31+(ln2)^{-1}(ln3-16ln5)+4(ln2)^{-1}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k(k+1)^{-1}\int_1^2x^32^{-x(k+1)}dx}$

$\displaystyle{\displaystyle{=31+(ln2)^{-1}(ln3-16ln5)}$

$\displaystyle{-4(ln2)^{-2}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k (k+1)^{-2}\left[2^{-x(k+1)}\left(x^3 3(k+1)^{-1}(ln2)^{-1}x^2+6(k+1)^{-2}(ln2)^{-2}x+6(k+1)^{-3}(ln2)^{-3}\right)\right]_1^2}$

$\displaystyle{=31+(ln2)^{-1}(ln3-16ln5)+2(ln2)^{-2}\left(\eta\left(2, \frac {1}{2}\right)-4\eta\left(2, \frac {1}{4}\right)}$

$\displaystyle{+6(ln2)^{-3}\left(\eta(3, \frac {1}{2}\right)-2 \eta \left(3, \frac {1}{4}\right)\right)}$

$\displaystyle{+12(ln2)^{-4}\left(\eta\left(4, \frac {1}{2}\right)-\eta \left(4, \frac {1}{4}\right)\right)}$

$\displaystyle{6(ln2)^{-5}\left(\eta \left(5, \frac {1}{2}\right) -\eta\left(5, \frac {1}{4}\right)\right)}$

Για την αντιγραφή:

stuart clark · #6

s.kap

#7

Υπάρχει και άλλη παρόμοια λύση με χρήση του πολυλογάριθμου, $\displaystyle polylog (a,x) = \sum _1^{\infty} \frac{x^n}{n^a}$ .

Εννοείται δεν θα κάνω τον κόπο να την γράψω:

Πραγματικά δεν βλέπω το νόημα να μπει αυτή η άσκηση, αφού η απάντηση είναι με πολλές polylog (ή πολλές ήτα, ως άνω). Δηλαδή, πάμε όσο πιο μακρυά γίνεται από κλειστό τύπο.

stuart clark, ποια είναι η λύση σου σε αυτό το ολοκλήρωμα; Ποιός είναι ο λόγος που το έθεσες στο φόρουμ;

There is a similar solution using the polylog function.

I will not bother writing it down:

Honestly I do not see the point of asking this integral since the answer is with several polylogs (or eta functions, as above). In other words as far as possible to a closed form solution.

stuart clark, which is your solution to this integral? Which is the reason you asked it in the forum?

#8

Μου έγραψε Π.Μ. ο Stuart clark ότι δεν έχει λύση στα δύο ολοκληρώματα που τον ρώτησα, αλλά ότι τα είδε άλυτα σε άλλα φόρα και τα μετέφερε εδώ!!!!!!!!!!!!!!
Φαίνεται πάει να κάνει τον έξυπνο εκεί, μεταφέροντας τις εδώ λύσεις μας.

stuart clark, our regulations require that we DO NOT ask questions whose answer we do not know, UNLESS WE SPECIFICALLY SAY SO.

It is BAD MANNERS to ask questions that you do not know the level of difficulty, especially questions "stolen" from other forums and transmitted here. You have done this several times.

I will not tolerate this behavior anymore so please act accordingly.

Μιχάλης Λάμπρου

mathxl · #9

Κύριε Μπόλη ευχαριστούμε!!

Mihalis_Lambrou έγραψε:Μου έγραψε Π.Μ. ο Stuart clark ότι δεν έχει λύση στα δύο ολοκληρώματα που τον ρώτησα, αλλά ότι τα είδε άλυτα σε άλλα φόρα και τα μετέφερε εδώ!!!!!!!!!!!!!!
Μιχάλης Λάμπρου

Μιχάλη έχω κάνει πολλές φορές το ίδιο...δηλαδή μεταφορά άλυτων προβλημάτων από άλλα φόρουμ εδώ. Δεν καταλαβαίνω που βασίζεις το εξής "Φαίνεται πάει να κάνει τον έξυπνο εκεί, μεταφέροντας τις εδώ λύσεις μας. " ????!!
Είναι εικασία ή έχουμε αποδείξεις;

Καλό βράδυ

#10

Βασίλη, το να μεταφέρουμε ερώτηση από άλλο φόρουμ δεν είναι μεμπτό, αρκεί να το δηλώνουμε ή, έστω, να αναφέρουμε ότι είναι άλυτη αλλού.

Στην περίπτωση του stuart clark, μου έγραψε ότι είδε την άσκηση άλυτη σε δύο μέρη εκ των οποίων το ένα είναι Βιετναμέζικο φόρουμ. Εκεί ακριβώς είναι το ακατανόητο: έχουμε ένα άτομο που δεν καταλαβαίνει ούτε ελληνικά, ούτε βιετναμέζικα αλλά είναι εγγεγραμμένο και στα δύο φόρουμ. Αναρωτιέται κανείς, ποιόν λάκκο έχει η φάβα. Είναι τελείως άλλο να βλέπεις έναν έλληνα που είδε μία ωραία άσκηση αλλού και θέλει να την μεταφέρει στους συμπατριώτες του και άλλο να βλέπεις έναν Ινδό να φέρνει άσκηση του Βιετνάμ στην Ελλάδα (χωρίς να ξέρει καμία από τις δύο γλώσσες).

Ας τονίσω ότι είχα αντίρρηση και με την συγκεκριμένη άσκηση. Την είχα λύσει και ο ίδιος με τέσσερεις χρήσεις της polylog (η λύση του Θεόδωρου έχει οκτώ χρήσεις της ήτα) αλλά δεν την έγραψα γιατί την θεώρησα αφύσικη. Στο τέλος αποδεικνύεται ότι ήταν άλυτη σε δύο μέρη και ότι ο ίδιος ο stuart clark δεν έχει λύση, γεγονός που μας το απέκρυψε. Έλεος!

Φιλικά,

Μιχάλης

mathxl · #11

Εντάξει Μιχάλη αυτό που αναφέρεις με τις γλώσσες είναι πράγματι ύποπτο, απλά δεν ξέρω αν θα έπρεπε να μας απασχολεί ή ενοχλεί.

ορισμένο ολοκλήρωμα

ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: ορισμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση