βραδυνό ολοκλήρωμα 52

mathxl · #1

Ένα ολοκλήρωμα που υποστηρίζει πολλούς τρόπους αντιμετώπισης

$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}dx$

papel · #2

Ενας απο τους οποιους ειναι προσθετουμε και αφαιρουμε μια μοναδα στον αριθμητη και υπολογιζοντας τα δυο ολοκληρωματα βγαζω π/4.

mathxl · #3

Ο τρόπος του papel
$\begin\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}dx &=&\lim_{M\rightarrow\infty}\int_{0}^{M}\left(\frac{1}{x^{2}+1}-\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\right)dx\\&=&\frac{\pi}{2}-\lim_{M\rightarrow\infty}\int_{0}^{M}\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}dx\\&=&\frac{\pi}{2}-\lim_{M\rightarrow\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{M}\frac{1}{\left(\tan^{2}\theta+1\right)^{2}}\sec^{2}\theta\, d\theta\\&=&\frac{\pi}{2}-\lim_{M\rightarrow\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{M}\cos^{2}\theta\, d\theta\\&=&\frac{\pi}{2}-\lim_{M\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\int_{0}^{M}(1+\cos 2\theta)\, d\theta\\&=&\frac{\pi}{2}-\lim_{M\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\left[\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{0}^{M}\\&=&\frac{\pi}{4}\end{eqnarray*}$

Ωmega Man · #4

Ας δώσω και εγώ μια από τις πιο κλασσικές λύσεις.
Θέτουμε $\displaystyle f(z)=\frac{z^2}{(z^2+1)^2}$ . Η

έχει πόλο στο $\textrm{i}$ και υπολογίζοντας το υπόλοιπο $\displaystyle \textrm{Res}(f(z);z=\textrm{i})=\lim_{z\rightarrow \textrm{i}}f(z)=-\frac{\textrm{i}}{4}$ . Άρα λοιπον,
$\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{x^2}{(x^2+1)^2}\;\textrm{d}x=\pi\textrm{i} \cdot \textrm{Res}\left(\frac{x^2}{(x^2+1)^2};x=\textrm{i}\right)=\frac{\pi}{4}$ .

thepathofresistance · #5

βραδυνό ολοκλήρωμα 52

βραδυνό ολοκλήρωμα 52

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 52

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 52

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 52

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 52

Μέλη σε σύνδεση