Διαφορική

mathxl · #1

Να βρείτε την συνάρτηση υ που ικανοποιεί την εξίσωση
$v{''}+\left(-\frac{x^2}{4}+x+\frac{1}{2}\right)v=0$

Μάλλον παίζει ρόλο η

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

?

Από τον Stuart Clark

#2

mathxl έγραψε:Να βρείτε την συνάρτηση υ που ικανοποιεί την εξίσωση
$v{''}+\left(-\frac{x^2}{4}+x+\frac{1}{2}\right)v=0$

Μετά από κάποιες πράξεις δοκιμάζοντας λύση της μορφής $p(x)e^{\left(-\frac{x^2}{4}+x+\frac{1}{2}\right)}$ βρίσκουμε ότι
η $v= c(x-2)e^{\left(-\frac{x^2}{4}+x+\frac{1}{2}\right)}$
είναι λύση. Οι πράξεις είναι πολλές, αλλά ρουτίνα.

Για να βρούμε δεύτερη λύση, ανεξάρτητη, η μέθοδος των απροσδιορίστων συντελεστών πάντα δουλεύει (αλλά δεν δοκίμασα). Σύμφωνα με αυτήν βρίσκουμε άλλη λύση της μορφής v=p(x)q(x)

, όπου

η λύση που βρήκαμε. Αυτό μας οδηγεί στην εξίσωση $p^{\prime}^{\prime}q + 2p^{\prime}q^{\prime}=0$ που είναι γραμμική ως προς $p^{\prime}$ , και άρα λύνεται.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Ερώτηση: Πώς ξέρουμε σε τι μορφή θα αναζητήσουε τη λύση κάθε φορά; Είναι θέμα εμπειρίας ή τυποποιείται μέχρι κάποιο σημείο;

#4

ΑΝ θέσουμε οπου χ το χ+2 με υ(χ+2)=y(x) έχουμε
$\displaystyle{y''(x)+\frac{6-x^2}{4}y(x)=0}$ και $\displaystyle{w(x)=y(x)e^{-\frac{x^2}{4}}}$ μετά τις πράξεις
$\displaystyle{w''(x)-xw'(x)+w(x)=0}$ (Hermite) με μια λύση το $\displaystyle{w_1(x)=x}$
Για την άλλη λύση πχ "Τραχανάς Συνήθεις Δ.Ε σελίδα 358" Πανεπισ/κες . Ε . Κρήτης

Πιο συγκεκριμένα
Αν $\displaystyle{W(x)=wronskian=e^{-\int{pdx}}=(\frac{w_2}{w_1})'w_1^2}$
Εδώ η εξίσωση $\displaystyle{w''+pw'+qw=0}$ έχει $\displaystyle{p=-x}$ , $\displaystyle{w_1=x}$ αρα $\displaystyle{w_2=x\int{\frac{1}{x^2}e^{-x^2/2}dx}}$ και η w είναι γραμμικός συνδυασμός των $\displaystyle{w_1,w_2}$ ...

Διαφορική

Διαφορική

Re: Διαφορική

Re: Διαφορική

Re: Διαφορική

Μέλη σε σύνδεση