Μία με σημειακή+ομοιόμορφη σύγκλιση

#1

Δίνεται η ακολουθία συναρτήσεων:

$\displaystyle{ ( f_n ) ,f_n (x) = x^n \cos (\frac{{(5^n - 1)\pi }}{2}x),x \in \left[ {0,1} \right] }$
Εξετάστε την $\displaystyle{ (f_n ) }$
ως πρός τη σημειακή σύγκλιση και την ομοιόμορφη σύγκλιση στο [0,1]

#2

$f_{n}(x)=x^n\cos\bigl({\frac{({5^n-1})\,\pi}{2}\,x}\bigr)\,, \ {x}\in\left[{0,\,1}\right]$ .

Γιά την κατα σημείο σύγκλιση:
Επειδή, για ${x}\in\left[{0,\,1}\right)$ , ισχύουν $0\leq\left|{x^n\cos\bigl({\frac{({5^n-1})\,\pi}{2}\,x}\bigr)}\right|\leq{x^n}$ και $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}x^n=0$ , έπεται ότι $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}f_{n}(x)=0$ , ${x}\in\left[{0,\,1}\right)$ .

$f_{n}(1)=\cos\bigl({\frac{5^n-1}{2}\,\pi}\bigr), \ n\in\mathbb{N}$ . Επειδή, για κάθε $n\in\mathbb{N}$ , ο αριθμός $\dfrac{5^n-1}{2}$ είναι άρτιος, προκύπτει $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}f_{n}(1)=\mathop{\lim}\limits_{k\rightarrow{+\infty}}\cos({2k\,\pi})=\mathop{\lim}\limits_{k\rightarrow{+\infty}}1=1$ .
Άρα $f_{n}\stackrel{\kappa.\,\sigma.}{\longrightarrow}f$ , όπου $f(x)=\left\{{\begin{array}{lc} 0\,,& 0\leq{x}<1\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 1\,,&x=1 \end{array}}\right.$

Για την ομοιόμορφη σύγκλιση:
Επειδή οι συναρτήσεις $f_{n}(x)$ είναι συνεχείς στο $\left[{0,\,1}\right]$ , ενώ η

δεν είναι, έπεται ότι η ακολουθία $({f_{n}})_{n\in\mathbb{N}}$ δεν συγκλίνει ομοιόμορφα στο $\left[{0,\,1}\right]\,.\quad\square$

Μία με σημειακή+ομοιόμορφη σύγκλιση

Μία με σημειακή+ομοιόμορφη σύγκλιση

Re: Μία με σημειακή+ομοιόμορφη σύγκλιση

Μέλη σε σύνδεση