int[(2sinx-cos2x-3) / (2cosx+3sin2x)]

mathxl · #2

Γρήγορη έχω μία απάντηση όταν ο αριθμητής είναι με +3 και όχι με -3 (βγαίνει πιο κομψά - φοριέται και στο Λύκειο)
$\displaystyle{\frac{{2\sin x - \cos 2x + 3}}{{2\cos x + 3\sin 2x}} = \frac{{2\sin x + 1 - 2{{\cos }^2}x + 3}}{{2\cos x + 6\sin x\cos x}} = \frac{{ - 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x + 4}}{{2\cos x\left( {1 + 3\sin x} \right)}} = }$
$\displaystyle{ = \frac{{{{\sin }^2}x + \sin x + 2}}{{\cos x\left( {1 + 3\sin x} \right)}} = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{2\cos x}}{{1 + 3\sin x}}}$
$\displaystyle{\int {\frac{{2\sin x - \cos 2x + 3}}{{2\cos x + 3\sin 2x}}dx} = - \ln \left| {\cos x} \right| + \frac{2}{3}\ln \left| {1 + 3\sin x} \right| + c}$

#3

mathxl έγραψε:Γρήγορη έχω μία απάντηση όταν ο αριθμητής είναι με +3 και όχι με -3 (βγαίνει πιο κομψά - φοριέται και στο Λύκειο)...

Βασίλη καί μέ τό -3 βγαίνει κομψά, όπως φαίνεται παρακάτω.
Όσο γιά τό άν φοριούνται -αμφότερα τά ολοκληρώματα- στό Λύκειο;...
Θά επρόκειτο γιά εξαιρετικά σπάνια φορεσιά!

$\displaystyle\int{\frac{2\,\sin{x}-\cos({2x})-3}{2\,\cos{x}+3\,\sin({2x})}\,dx}=\int{\frac{2\,\sin{x}-1+2\,\sin^2{x}-3}{2\,\cos{x}+6\,\sin{x}\,\cos{x}}\,dx}=$

$\displaystyle\int{\frac{2\,({\sin{x}-1+\sin^2{x}-1})}{2\,\cos{x}\,({1+3\,\sin{x}})}\,dx}=\int{\frac{\cos{x}\,({\sin{x}-1})\,({\sin{x}+2})}{\cos^2{x}\,({1+3\,\sin{x}})}\,dx}=$

$\displaystyle\int{\frac{\cos{x}\,({\sin{x}-1})\,({\sin{x}+2})}{({1-\sin{x}})\,({1+\sin{x}})\,({1+3\,\sin{x}})}\,dx}=\int{\frac{-\cos{x}\,({\sin{x}+2})}{({1+\sin{x}})\,({1+3\,\sin{x}})}\,dx}=^{(*)}$

$\displaystyle\frac{1}{2}\int{\frac{\cos{x}}{1+\sin{x}}\,dx}-\frac{5}{2}\int{\frac{\cos{x}}{1+3\,\sin{x}}\,dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{({1+\sin{x}})^{\prime}}{1+\sin{x}}\,dx}\,-$

$\displaystyle\frac{5}{6}\int{\frac{({1+3\,\sin{x}})^{\prime}}{1+3\,\sin{x}}\,dx}=\frac{1}{2}\,\ln({1+\sin{x}})-\frac{5}{6}\,\ln({1+3\,\sin{x}})+c.\quad\square$

$(*) \ \displaystyle\frac{t+2}{({1+t})\,({1+3t})}=\frac{-\frac{1}{2}}{1+t}+\frac{\frac{5}{2}}{1+3t}$

mathxl · #4

Ωραία

int[(2sinx-cos2x-3) / (2cosx+3sin2x)]

int[(2sinx-cos2x-3) / (2cosx+3sin2x)]

Re: int[(2sinx-cos2x-3) / (2cosx+3sin2x)]

Re: int[(2sinx-cos2x-3) / (2cosx+3sin2x)]

Re: int[(2sinx-cos2x-3) / (2cosx+3sin2x)]

Μέλη σε σύνδεση