Σύγκλιση ολοκληρώματος 03

#1

Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, το ολοκλήρωμα
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{\tan{x}}\,{\rm{d}}{x}$ .

#2

grigkost έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 20, 2025 6:00 am
Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, το ολοκλήρωμα
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{\tan{x}}\,{\rm{d}}{x}$ .

.
Απάντηση: Αποκλίνει στο $+\infty$ .

Έχουμε

$\displaystyle{I= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{\tan{x}}\,dx \ge \int_{\frac {3}{2} }^{\frac{\pi}{2}}x^{\tan{x}}\,dx \ge \int_{\frac {3}{2} }^{\frac{\pi}{2}}\left (\dfrac{3}{2} \right ) ^{\tan{x}}\,dx}$

Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής $y=\tan x$ , ισοδύναμα $x=\arctan y$ , οπότε

$\displaystyle{I \ge \int_{\arctan \frac {3}{2} }^{\infty }\dfrac {\left (\frac{3}{2} \right ) ^{y}}{1+y^2} \,dy}$

Επιλέγουμε τώρα μεγάλο

με $T\ge \arctan \frac {3}{2}$ , οπότε το παραπάνω ολοκλήρωμα είναι

$\displaystyle{\ge \int_{T}^{2T}\dfrac {\left (\frac{3}{2} \right ) ^{y}}{1+y^2} \,dy \ge \int_{T}^{2T}\dfrac {\left (\frac{3}{2} \right ) ^{T}}{1+(2T)^2}\, dy\ge \dfrac {2T-T}{1+(2T)^2}\left (\frac{3}{2} \right ) ^{T} \ge \dfrac {T}{T^2+4T^2}\left (\frac{3}{2} \right ) ^{T}= \dfrac {1}{5T}\left (\frac{3}{2} \right ) ^{T}}$

Όμως με l' Hospital περίπτωαη $\dfrac {\infty}{\infty}$ έχουμε

$\displaystyle{ \lim _{T \to \infty} \dfrac {\left (\frac{3}{2} \right ) ^{T}}{5T} = \lim _{T \to \infty} \dfrac {\left (\frac{3}{2} \right ) ^{T} \ln \frac{3}{2} }{5} = +\infty}$ , που ολοκληρώνει το ζητούμενο.

#3

Μια δεύτερη λύση:

Επειδή
$\begin{aligned} \lim_{x\to 0^{+}}x^{\tan{x}}&=\lim_{x\to 0^{+}}\exp({\tan{x}\log{x}})=\exp\Big({\lim_{x\to 0^{+}}\tan{x}\log{x}}\Big)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\exp\bigg({\cancelto{1}{\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{\cos{x}}}\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\log{x}}{\frac{1}{\sin{x}}}}\bigg)\stackrel{{DHL}}{=\!=\!=}\exp\bigg({\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}}}}\bigg)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\exp\bigg({\cancelto{1}{\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{\cos{x}}}\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sin^2{x}}{x}}\bigg)\stackrel{{DHL}}{=\!=\!=}\exp\Big({\lim_{x\to 0^{+}}2\sin{x}\cos{x}}\Big)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\exp\Big({\lim_{x\to 0^{+}}\sin({2x})}\Big)=\exp(0)=1\,, \end{aligned}$

αρκεί να εξετασθεί η σύγκλιση για $x\to\frac{\pi}{2}^{-}$ .
Υπάρχει $\delta>0$ τέτοιο ώστε για κάθε $x\in\big[{\frac{\pi}{2}-\delta,\frac{\pi}{2}}\big)\subset \big({{\rm{e}}^{\frac{1}{4}},\frac{\pi}{2}}\big)$ να ισχύει

$\begin{aligned} x^{\tan{x}}&=\exp({\tan{x}\log{x}})>\tan{x}\log{x}>\frac{1}{4}\tan{x}>0\quad\Rightarrow \\\noalign{\vspace{0.2cm}} x^{\tan{x}}&>\frac{1}{4}\tan{x}>0\,.\quad(1) \end{aligned}$

Επειδή
$\begin{aligned} \int_{\frac{\pi}{2}-\delta}^{\frac{\pi}{2}}\tan{x}\,{\mathrm{d}}x&=\int_{\frac{\pi}{2}-\delta}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\,{\mathrm{d}}x\stackrel{\begin{subarray}{c} {t\,=\,\cos{x}} \\\noalign{\vspace{0.05cm}} {-\difx{t}\,=\,\sin{x}\,{\mathrm{d}}x} \\\noalign{\vspace{0.05cm}} \end{subarray}}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}-\int_{\cos({\frac{\pi}{2}-\delta})}^{0}\frac{1}{t}\,{\mathrm{d}}{t}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=-\log{t}\,\Big|_{\cos({\frac{\pi}{2}-\delta})}^{0}=-({-\infty})+\log\big({\cos({\tfrac{\pi}{2}-\delta})}\big)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=+\infty\,, \end{aligned}$

από το κριτήριο σύγκρισης, λόγω της (1)

, προκύπτει $\bigintssss_{\,\frac{\pi}{2}-\delta}^{\frac{\pi}{2}}x^{\tan{x}}\,{\mathrm{d}}x=+\infty$ . Τελικά, $\bigintssss_{\,0}^{\frac{\pi}{2}}x^{\tan{x}}\,{\mathrm{d}}x=+\infty$ .

#4

grigkost έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 20, 2025 6:00 am
Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, το ολοκλήρωμα
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{\tan{x}}\,{\rm{d}}{x}$ .

.

Λίγο πιο απλά, κάνοντας έναν συγκερασμό των δύο μεθόδων:

Για οποιοδήποτε

με $\dfrac {3}{2} < T < \dfrac {\pi}{2}$ (αργότερα θα πάρουμε $T\longrightarrow \dfrac {\pi}{2}$ ) έχουμε

$\displaystyle{I= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{\tan{x}}\,dx \ge \int_{\frac {3}{2} }^{\frac{\pi}{2}}x^{\tan{x}}\,dx \ge \int_{\frac {3}{2} }^{\frac{\pi}{2}}\left (\dfrac{3}{2} \right ) ^{\tan{x}}\,dx}\ge \int_{T }^{\frac{\pi}{2}}\left (\dfrac{3}{2} \right ) ^{\tan{x}}\,dx}\ge$

$\displaystyle{ \ge \int_{T }^{\frac{\pi}{2}}\left (\dfrac{3}{2} \right ) ^{\tan{T}}\,dx} = \left ( \frac {\pi}{2}-T } \right) \left (\dfrac{3}{2} \right ) ^{\tan{T}} }$

Παίρνοντας όριο $T\longrightarrow \dfrac {\pi}{2}$ εύκολα βλέπουμε ότι το δεξί μέλος τείνει στο $+\infty$ (ένας τρόπος είναι με l' Hospital. Άλλος είναι με χρήση της $e^x \ge \dfrac {x^2}{2}$ και θέτοντας $S = \dfrac {\pi}{2}-T$ να αναχθούμε στην μελέτη του ορίου (για κάποια σταθερά

)

$\displaystyle{ \lim _{S\to 0+} \dfrac {aS} {\tan ^2S} = a\lim _{S\to 0+} \dfrac {S}{\sin S}\cdot cos S \cdot \dfrac {1}{\tan S}=+\infty}$

Σύγκλιση ολοκληρώματος 03

Σύγκλιση ολοκληρώματος 03

Re: Σύγκλιση ολοκληρώματος 03

Re: Σύγκλιση ολοκληρώματος 03

Re: Σύγκλιση ολοκληρώματος 03

Μέλη σε σύνδεση