Διαφορικὴ ἐξίσωση πεπλεγμένης μορφῆς

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Πρόβλημα. Ἔστω διαφορίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb R\to\mathbb R$ , ὥστε διὰ κάθε $x\in\mathbb R$ . Τότε συμβαίνει ἀκριβῶς ἕνα ἀπὸ τὰ κάτωθι:
Ἡ εἶναι ταυτοτικῶς μηδενική.
Ὑπάρχει $c\ne 0,$ ὥστε , διὰ κάθε $x\in\mathbb R$ .
Ὑπάρχει $c\ne 0,$ ὥστε $f(x)=c e^{-x}$ , διὰ κάθε $x\in\mathbb R$ .

perpendicular · #2

Η f ως παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ είναι και συνεχής στο $\mathbb{R}$ οπότε είτε $\ 0 \in f(\mathbb{R})$ ή η f διατηρεί πρόσημο στο $\mathbb{R}$ . Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

η f διατηρεί πρόσημο στο .Λόγω του ότι η f' έχει την ιδιότητα Darboux έπεται ότι και αυτή διατηρεί πρόσημο οπότε διακρίνουμε τις εξής υποπεριπτώσεις
- $\forall x \in \mathbb{R}$ είναι $f'(x)=f(x) \Rightarrow \exists c \in\mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\forall x \in \mathbb{R}$ να είναι $f(x)=ce^{x}$
- $\forall x \in \mathbb{R}$ είναι $f'(x)=-f(x) \Rightarrow \exists c \in\mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\forall x \in \mathbb{R}$ να είναι $f(x)=ce^{-x}$
Προφανώς αφού η f διατηρεί πρόσημο στο

$\ 0 \in f(\mathbb{R})$ , οπότε $\exists x_{0}\in\mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $f(x_{0})=0$ .Έστω ότι $\exists x\in\mathbb{R}$ με $x \neq x_{0}$ τέτοιο ώστε $f(x)\neq 0$ . Ορίζουμε Δ το κλειστό διάστημα με άκρα τα $x , x_{0}$ . Λόγω συνέχειας της |f| στο Δ,ξέρουμε ότι λαμβάνει μέγιστη τιμή σε αυτό οπότε $\exists y\in\Delta$ με $y\neq x_{0}$ τέτοιο ώστε $|f(y)|=max\{|f(t)|:t\in\Delta\}>0$ .
Aπό ΘΜΤ για την f στο κλειστό διάστημα με άκρα τα $y , x_{0}$ , $\exists z \in \Delta^{o}$ τέτοιο ώστε $|f(y)|=|f(y)-0|=|f(y)-f(x_{0})|=|f'(z)(y-x_{0})|=|f'(z)||y-x_{0}|=|f(z)||y-x_{0}|$ $\leq |f(y)||y-x_{0}|<|f(y)||x-x_{0}|$ οπότε υποχρεωτικά $|x-x_{0}|>1$ .Άμέση συνέπεια αυτού είναι ότι $\forall t\in [x_{0}-1,{x_{0}+1]$ είναι .

Παρατηρούμε ότι δεδομένου ότι η f έχει ρίζα το $x_{0}\in\mathbb{R}$ ,το να μην είναι παντού 0 μας εξασφαλίζει ότι είναι ταυτοτικά ίση με 0 σε ένα κλειστό διάστημα με κέντρο το $x_{0}$ και ακτίνα 1.Δεδομένου ότι $f(x_{0}+1)=f(x_{0}-1)=0$ με ανάλογο σκεπτικό προκύπτει ότι $\forall t\in [x_{0}-2,{x_{0}+2]$ είναι .Συνεχίζοντας επαγωγικά έκουμε ότι $\forall n \in \mathbb{N}$ είναι $\forall t\in [x_{0}-n,{x_{0}+n]$ είναι .Αλλά αν $d=|x-x_{0}|$ τότε υπάρχει $n_{0}\in \mathbb{N}$ τέτοιο ώστε $n_{0} \geq d$ οπότε $x \in [x_{0}-n_{0},{x_{0}+n_{0}]$ και ως εκ τούτου ,ΑΤΟΠΟ.Άρα $\forall x \in \mathbb{R}$ έχουμε ότι ,δηλαδή η f είναι ταυτοτικά ίση με 0 στο $\mathbb{R}$ .

perpendicular · #3

Προσπάθησα για αρκετή ώρα να ώστε να απαριθμήσω τις περιπτώσεις αλλά δεν κατάφερα να βάλω στην 2η περίπτωση το 2 μπροστά.Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει πως γίνεται; Η 2η περίπτωση βγαίνει και ορίζοντας ως $\Delta_{x_{0}}^{+}=\{a>x_{0}:η f(x)=0,\forall x\in [x_{0},a]\}$ , $\Delta_{x_{0}}^{-}=\{a<x_{0}:η f(x)=0,\forall x\in [a,x_{0},]\}$ .Αρχικά δείχνουμε ότι τα $\Delta_{x_{0}}^{+},\Delta_{x_{0}}^{-}$ είναι μη κενά οπότε ορίζονται στο $\bar{\mathbb{R}}$ το supremum του $\Delta_{x_{0}}^{+}$ και το infimum του $\Delta_{x_{0}}^{-}$ ,και στην συνέχεια δείχνουμε ότι είναι $+\infty,-\infty$ αντίστοιχα.

Διαφορικὴ ἐξίσωση πεπλεγμένης μορφῆς

Διαφορικὴ ἐξίσωση πεπλεγμένης μορφῆς

Re: Διαφορικὴ ἐξίσωση πεπλεγμένης μορφῆς

Re: Διαφορικὴ ἐξίσωση πεπλεγμένης μορφῆς

Μέλη σε σύνδεση