Ἀνισες λύσεις αυτόνομης εξισώσεως

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Πρόβλημα. Ἔστω ὅτι οἱ συναρτήσεις $\varphi,\psi : \mathbb R\to\mathbb R,$ ἀποτελοῦν λύσεις τῆς διαφορικῆς ἐξισώσεως $x'=\sin x,$ καὶ ἔστω ὅτι $\varphi(0)=3,$ ἐνῶ $\psi(1)=4.$ Δεἰξατε ὅτι

$\displaystyle{ \varphi(s)<\psi(t), }$

διὰ κάθε $\,s,t\in\mathbb R$ .

αρψ2400 · #2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑
Δευ Απρ 14, 2025 1:26 am
Πρόβλημα. Ἔστω ὅτι οἱ συναρτήσεις $\varphi,\psi : \mathbb R\to\mathbb R,$ ἀποτελοῦν λύσεις τῆς διαφορικῆς ἐξισώσεως $x'=\sin x,$ καὶ ἔστω ὅτι $\varphi(0)=3,$ ἐνῶ $\psi(1)=4.$ Δεἰξατε ὅτι

$\displaystyle{ \varphi(s)<\psi(t), }$

διὰ κάθε $\,s,t\in\mathbb R$ .

Η $f(t)=\pi$ είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης .Άρα κάθε λύση που ''ξεκινάει '' κάτω από το π , οπουδήποτε ,παραμένει (δεδομένης της μοναδικότητας του προβλήματος αρχικών τιμών , αφού έχουμε συνέχεια της sinx

και της μερικής παραγώγου της ως προ χ) κάτω από το π ,και κάθε λύση που ''ξεκινάει '' πάνω από το π οπουδήποτε , παραμένει πάνω από το π.Άρα $\displaystyle{ \varphi(s)<\pi<\psi(t),}$

διὰ κάθε $\,s,t\in\mathbb R$ .

Ἀνισες λύσεις αυτόνομης εξισώσεως

Ἀνισες λύσεις αυτόνομης εξισώσεως

Re: Ἀνισες λύσεις αυτόνομης εξισώσεως

Μέλη σε σύνδεση