Υπολογισμός ορίου

Ορέστης Λιγνός · #1

Δουλεύοντας πάνω σε μία άσκηση, κατέληξα στο όριο:

$\displaystyle \ell := \lim_{N \to +\infty} \left ( \frac{\pi N}{4}-\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{N} \left \lfloor \sqrt{N^2-i^2} \right \rfloor}{N} \right )$

Τι μπορούμε να πούμε για αυτό το όριο; Μπορεί να υπολογιστεί ή έστω να βρεθούν καλές εκτιμήσεις του;

(δεν έχω λύση)

EDIT: Διόρθωσα αβλεψία στην διατύπωση της εκφώνησης. Συγγνώμη για οποιαδήποτε ταλαιπωρία πιθανώς προκάλεσα

Nikitas K. · #2

Κώδικας: Επιλογή όλων

class Main {
	final static int POWER = 11;
	public static void main(String[] args) {
		for (int j = 0; j <= POWER; j++) {
			final long N = (long) Math.pow(10, j);
			final double TERM1 = Math.PI * N / 4;
			long sum = 0l;
			for (long i = 1l; i <= N; i++)
				sum += (long) Math.sqrt(N * N - i * i);
			final double TERM2 = (double) sum / N;
			System.out.println("a_{10^" + j + "} = " + (TERM1 - TERM2));
		}
	}
}

$\displaystyle a_n := \frac{\pi n}{4}-\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left \lfloor \sqrt{n^2-i^2} \right \rfloor}{n}$

$a_{10^0} \approx 0.7853981633974483$

$a_{10^1} \approx 0.9539816339744824$

$a_{10^2} \approx 0.9998163397448252$

$a_{10^3} \approx 1.0111633974482857$

$a_{10^4} \approx 1.00533397448271$

$a_{10^5} \approx 1.0026997448294424$

$a_{10^6} \approx 1.0009914482943714$

$a_{10^7} \approx 1.0002097832038999$

$a_{10^8} \approx 1.0000747591257095$

$a_{10^9} \approx 1.000006914138794$

$a_{10^{10}} \approx 8.40648691641456E9$

$a_{10^{11}} \approx 7.846028373167079E10$

$a_{10^{12}} \approx 7.854013808568956E11$

#3

Το όριο είναι πράγματι $\dfrac {1}{2}$ . 'Εχω πλήρη απόδειξη την οποία θα γράψω κάποια στιγμή, αλλά σήμερα είναι αδύνατον λόγω περιστάσεων.

Υπολογισμός ορίου

Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Re: Υπολογισμός ορίου

Μέλη σε σύνδεση