Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

sot arm · #61

stranger έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 28, 2021 12:13 pm
18) Μια από μιγαδική.
Έστω ολόμορφη στο $|z| \leq R$ με $\lim_{n \rightarrow \infty}f^{(n)}(z) = g(z)$ ομοιόμορφα στο $|z| \leq R$ .
Δείξτε ότι στο $|z| \leq R$ , όπου μιγαδική σταθερά.
Εύκολη είναι αν τη δεις σωστά.

Δίνω μία λύση και δίνω και μία γενίκευση, επίσης μου φαίνεται ότι δεν έχει σχέση με θεωρία μέτρου. Από γνωστό θεώρημα έχουμε ότι η g(z)

είναι ολόμορφη στον δίσκο $|z| \leq R$ , ως ομοιόμορφο όριο ολομόρφων. Επίσης έχουμε ότι:

$\displaystyle{ g'(z) = \lim_{n \rightarrow \infty } f^{(n+1)}(z) = g(z) \iff g(z) = Ce^{z}}$

που είναι το ζητούμενο. Η γενίκευση είναι η εξής, ήτανε παλιό θέμα σε Miklos - Sweitzer

:

Έστω $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ ακεραία συνάρτηση , ούτως ώστε η $f^{(n)}$ να συγκλίνει κατά σημείο. Να αποδείξετε ότι $f^{n}(z) \rightarrow Ce^{z}$ για κάποια μιγαδική σταθερά

.

stranger · #62

$\displaystyle{ g'(z) = \lim_{n \rightarrow \infty } f^{(n+1)}(z) = g(z) \iff g(z) = Ce^{z}}$

Πρέπει να δικαιολογηθεί ότι $g'(z) = \lim_{n \rightarrow \infty } f^{(n+1)}(z)$ , ότι επιτρέπεται να παραγωγίσεις δηλαδή.
Αυτό έπεται από την ομοιόμορφη σύγκλιση από γνωστό θεώρημα. Η συνθήκη που πρέπει να ισχύει είναι ότι έχουμε ομοιόμορφη σύγκλιση στα συμπαγή υποσύνολα του $|z| \leq R$ , που είναι ισοδύναμο με την ομοιόμορφη σύγκλιση στο B(0,R)

.

sot arm · #63

stranger έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 28, 2021 3:44 pm

$\displaystyle{ g'(z) = \lim_{n \rightarrow \infty } f^{(n+1)}(z) = g(z) \iff g(z) = Ce^{z}}$
Πρέπει να δικαιολογηθεί ότι $g'(z) = \lim_{n \rightarrow \infty } f^{(n+1)}(z)$ , ότι επιτρέπεται να παραγωγίσεις δηλαδή.
Αυτό έπεται από την ομοιόμορφη σύγκλιση από γνωστό θεώρημα. Η συνθήκη που πρέπει να ισχύει είναι ότι έχουμε ομοιόμορφη σύγκλιση στα συμπαγή υποσύνολα του $|z| \leq R$ , που είναι ισοδύναμο με την ομοιόμορφη σύγκλιση στο .

Το ότι επιτρέπεται να παραγωγίσεις το θεώρησα κομμάτι του γνωστού θεωρήματος για αυτό δεν έδωσα ιδιαίτερη μνεία, δηλαδή δεν θεωρώ ότι πρέπει να δικαιολογηθεί.

stranger · #64

19) Να υπολογιστεί το $\int_{0}^{\infty}\frac{logx}{(1+x^2)^2} dx$ .

Tolaso J Kos · #65

stranger έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 28, 2021 10:13 pm
19) Να υπολογιστεί το $\int_{0}^{\infty}\frac{logx}{(1+x^2)^2} dx$ .

Ξεκινάμε από την ολοκληρωτική αναπαράσταση της $\mathrm{B}$ η οποία είναι

$\displaystyle{\mathrm{B}(x, y) = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{x-1}}{\left ( 1+t \right )^{x+y}} \, \mathrm{d} t}$
Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(s) = \int_0^\infty \frac{t^{s-1}}{(1+t^2)^2} \, \mathrm{d}t}$ . Τότε:

$\displaystyle{\begin{aligned} f(s) &=\int_0^\infty \frac{t^{s-1}}{(1+t^2)^2} \, \mathrm{d}t \\ &\!\!\!\!\overset{y=t^2}{=\! =\! =\! =\!} \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{y^{(s-1)/2}}{\left ( 1+y \right )^2 \sqrt{y}}\, \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{y^{s/2-1}}{\left ( 1+y \right )^2}\, \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{2} \mathrm{B} \left ( \frac{s}{2} , 2 - \frac{s}{2} \right ) \\ &= \frac{1}{2} \frac{\Gamma \left ( \frac{s}{2} \right ) \Gamma \left ( 2 - \frac{s}{2} \right )}{\Gamma \left ( \frac{s}{2} + 2 - \frac{s}{2} \right )} \\ &= \frac{1}{2} \Gamma \left ( \frac{s}{2} \right ) \Gamma \left ( 2 - \frac{s}{2} \right ) \\ &= \frac{1}{2} \Gamma \left ( \frac{s}{2} \right ) \Gamma \left ( 1 + \left ( 1 - \frac{s}{2} \right ) \right ) \\ &= \frac{\left ( 1 - \frac{s}{2} \right )}{2} \Gamma \left ( \frac{s}{2} \right ) \Gamma \left ( 1 - \frac{s}{2} \right ) \\ &= \frac{\left ( 1 - \frac{s}{2} \right )}{2} \pi \csc \frac{\pi s}{2} \\ &= \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{s}{2} \right ) \pi \csc \frac{s \pi}{2} \end{aligned}}$

Παραγωγίζοντας ως προς

έχουμε από τη μία

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} s} f(s) &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} s} \left ( \int_{0}^{\infty} \frac{t^{s-1}}{(1+t^2)^2} \, \mathrm{d}t \right ) \\ &=\int_{0}^{\infty} \frac{\partial }{\partial s} \frac{t^{s-1}}{(1+t^2)^2} \, \mathrm{d}t \\ &=\int_{0}^{\infty} \frac{t^{s-1} \log t}{\left ( 1+t \right )^2} \, \mathrm{d}t \end{aligned}}$
και από την άλλη

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} s} f(s) &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} s} \left ( \frac{1}{2} \left ( 1 - \frac{s}{2} \right ) \pi \csc \frac{\pi s}{2} \right ) \\ &=\frac{\pi}{8} \left ( \pi \left ( s-2 \right ) \cot \frac{\pi s}{2} -2 \right ) \csc \frac{\pi s}{2} \end{aligned}}$
Για s=1

παίρνουμε

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{\left ( 1+x^2 \right )^2}\, \mathrm{d}x = - \frac{\pi}{4}}$

Λογικά βγαίνει και με contours. π.χ να θεωρήσουμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(z) = \frac{\log^2 z}{\left ( 1+z^2 \right )^2}}$ πάνω στο κλασικό keyhole contour με το όρισμα να βρίσκεται στο $(-\pi , \pi]$ .

stranger · #66

20)
Έστω $(X,\mu)$ ένας χώρος πεπερασμένου μέτρου και

μετρήσιμη.
Δείξτε ότι η

είναι ολοκληρώσιμη αν και μόνο αν η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty} \mu(\{x: |f(x)| \geq n\})$ συγκλίνει.

stranger · #67

stranger έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 31, 2021 10:37 am
20)
Έστω $(X,\mu)$ ένας χώρος πεπερασμένου μέτρου και μετρήσιμη.
Δείξτε ότι η είναι ολοκληρώσιμη αν και μόνο αν η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty} \mu(\{x: |f(x)| \geq n\})$ συγκλίνει.

Επαναφορά για την 20.

21) Έστω ακέραια συνάρτηση

με $\lim_{z \rightarrow \infty} f(z) = \infty$ . Δείξτε ότι η

είναι πολυώνυμο.

stranger · #68

22)
Έστω $\Delta = \{z \in \mathbb{C} | |z|<1\}$ και

ολόμορφη στο $\Delta$ με f(0)=0

.
Δείξτε ότι η συνάρτηση $\sum_{n=1}^{\infty} f(z^n)$ συγκλίνει ομοιόμορφα στα συμπαγή του $\Delta$ .

Σημείωση: Θα βάλω τις λύσεις των 21 και 20 σύντομα αν δεν υπάρξει απάντηση.

stranger · #69

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 13, 2023 5:26 pm
21) Έστω ακέραια συνάρτηση με $\lim_{z \rightarrow \infty} f(z) = \infty$ . Δείξτε ότι η είναι πολυώνυμο.

Από υπόθεση έχουμε $\lim_{z \rightarrow \infty} f(z) = \infty$ , οπότε $\lim_{z \rightarrow 0} f(\frac{1}{z}) = \infty$ .
Οπότε η συνάρτηση $f(\frac{1}{z})$ έχει πόλο στο

.
Άρα $f(\frac{1}{z}) = \sum_{k=-n}^{\infty} c_k z^k$ για κάποιο θετικό ακέραιο

.
Συνεπώς παίρνουμε $f(z) = \sum_{k=-\infty}^{n} c_{-k} z^k$ . Όμως η

είναι ακέραια, οπότε $\sum_{k=-\infty}^{-1} c_{-k} z^k \equiv 0$ .
Οπότε η

είναι πολυώνυμο.

stranger · #70

Γνωστό θεώρημα, αλλά το θέτω ως άσκηση.
23) Δείξτε ότι κάθε μερόμορφη συνάρτηση ορισμένη στο $\mathbb{C}$ με δύο διαφορετικές περιόδους δεν μπορεί να είναι ακέραια, εκτός αν είναι σταθερή.
Edit: εννοείται να μην είναι η μία περίοδος ακέραιο πολλαπλάσιο της άλλης.

#71

stranger έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 28, 2021 10:13 pm
19) Να υπολογιστεί το $\int_{0}^{\infty}\frac{logx}{(1+x^2)^2} dx$ .

Αλλιώς:

H αλλαγή μεταβλητής t=1/s

δίνει

$\displaystyle{I =\int_{0}^{\infty}\frac{\log t}{1+t^2}dt= -\int_{0}^{\infty}\frac{-\log s}{1+\frac {1}{s^2}} \dfrac {ds}{-s^2} = - \int_{0}^{\infty}\frac{\log s}{1+s^2}ds= -I}$ άρα $\displaystyle{\boxed {\int_{0}^{\infty}\frac{\log t}{1+t^2}dt=0}}$

Με αλλαγή μεταβλητής x=at

(όπου

) 'επεται τώρα ότι

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{a^2+x^2} dx = a \int_{0}^{\infty}\frac{\log a +\log t}{a^2(1+t^2)} dt= \dfrac {\log a}{a} \int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+t^2} dt + \dfrac {1}{a} \int_{0}^{\infty}\frac{\log t}{1+t^2}dt= }$

$\displaystyle{ = \dfrac {\log a}{a} \dfrac {\pi}{2} + 0} \, (*)$ .

Παραγωγίζοντας τώρα ως προς

μέσα στο ολοκλήρωμα έπεται από Leibniz ότι

$\displaystyle{-2a\int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{(a^2+x^2)^2} dx = \dfrac {d}{da} \int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{a^2+x^2} dx =^{(*)}\dfrac {d}{da} \left (\dfrac {\log a}{a} \dfrac {\pi}{2} \right ) = \dfrac {\pi}{2} \dfrac {1-\log a}{a^2} }$ άρα

$\boxed{ \displaystyle{\int_{0}^{\infty}\dfrac {\log x}{(a^2+x^2)^2} dx= \dfrac {\pi(\log a-1)}{4a^3} }}$

που για a=1

δίνει $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\dfrac {\log x}{(1+x^2)^2} dx= -\dfrac {\pi}{4} }$

stranger · #72

stranger έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 14, 2023 1:59 am
22)
Έστω $\Delta = \{z \in \mathbb{C} | |z|<1\}$ και ολόμορφη στο $\Delta$ με .
Δείξτε ότι η συνάρτηση $\sum_{n=1}^{\infty} f(z^n)$ συγκλίνει ομοιόμορφα στα συμπαγή του $\Delta$ .

Έστω

συμπαγές υποσύνολο του $\Delta$ .
Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι υπάρχει σταθερά $M \in (0,1)$ ώστε $|x| \leq M$ για κάθε

στο

(λόγω της συμπάγειας του

).
Έστω η ανάλυση της

σε δυναμοσειρά στο $\Delta$ ως $f(z) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n z^n$ .
Τότε για κάθε $x \in K$ έχουμε $|f(z^n)| \leq \sum_{m=1}^{\infty}|a_m||z|^{nm} \leq \sum_{m=1}^{\infty}|a_m| M^{nm}$ .
Άρα απο Weirstrass M-test, αρκεί να δείξουμε ότι η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} |a_m| M^{nm}$ συγκλίνει.
Όμως $\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} |a_m| M^{nm} =$ $\sum_{m=1}^{\infty}|a_m| \sum_{n=1}^{\infty} M^{nm}$ $= \sum_{m=1}^{\infty}|a_m| \frac{M^m}{1-M^m}$ .
Έστω ένας αριθμός $F \in (M,1)$ . Τότε έχουμε ότι $F^m < \frac{1}{2}$ για

αρκετά μεγάλο.
Οπότε M^m + F^m < 2 F^m < 1

, το οποίο σημαίνει F^m < 1- M^m

για

αρκετά μεγάλο.
Οπότε για

αρκετά μεγάλο $|a_m| \frac{M^m}{1-M^m} \leq |a_m| (\frac{M}{F})^m$ και η σειρά $\sum_{m=1}^{\infty}|a_m| (\frac{M}{F})^m$ συγκλίνει αφού $\frac{M}{F}<1$ και το συμπέρασμα έπεται.
edit: Διόρθωσα ένα λάθος.

stranger · #73

24) Δείξτε ότι αν έχουμε $a \in (0,1)$ τότε η $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^a}$ δεν είναι σειρά Fourier Riemann ολοκληρώσιμης συνάρτησης στο $[-\pi,\pi]$ .
edit: Επειδή έχω σκοπό να βάζω ασκήσεις σε αυτό το θέμα που να καλύπτουν όλο το εύρος της ανάλυσης, παρακαλώ να μετονομαστεί αυτό το θέμα σε "Ασκήσεις Ανάλυσης".

stranger · #74

25)
Έστω η εξίσωση της θερμότητας x^2

$\frac{\partial{^2u}}{\partial{x^2}}$ $+ ax \frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \frac{\partial{u}}{\partial{t}}$ , u(x,0)=0

,

και $x \in \mathbb{R}$ , a>0

.
Δείξτε ότι αν $g(t)= e^{-t^{-a}} \chi_{(0,\infty)}(t)$ , τότε η συνάρτηση $u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty}g^{(n)}(t) \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ είναι μια λύση της παραπάνω μερικής διαφορικής εξίσωσης που ικανοποιεί και τη δοσμένη συνοριακή συνθήκη.

stranger · #75

26)
Έστω $U \subseteq \mathbb{R}^n$ ανοιχτό και συνεκτικό και μια συνάρτηση

που ανήκει στον χώρο Sobolev $W^{1,p}(U)$ , όπου p>1

.
Θεωρούμε ότι οι ασθενείς μερικοί παράγωγοι της

ικανοποιούν $\frac{\partial{u}}{\partial{x_i}} = 0$ σχεδόν παντού στο

για κάθε

.
Δείξτε ότι u=0

σχεδόν παντού στο

.

stranger · #76

27) α) Βρείτε την γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης $\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{x}{2} \frac{du}{dx} = 0$ .
β) Χρησιμοποιώντας το α) βρείτε μια λύση της μερικής διαφορικής εξίσωσης $\frac{\partial{u}}{\partial{t}} = \frac{\partial{^2u}}{\partial{x^2}}$ , $x \in \mathbb{R}$ , t>0

που να ικανοποιεί την συνοριακή συνθήκη u(x,0)=0

.

stranger · #77

stranger έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2024 9:46 pm
24) Δείξτε ότι αν έχουμε $a \in (0,1)$ τότε η $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^a}$ δεν είναι σειρά Fourier Riemann ολοκληρώσιμης συνάρτησης στο $[-\pi,\pi]$ .

stranger έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2024 10:08 pm
25)
Έστω η εξίσωση της θερμότητας $\frac{\partial{^2u}}{\partial{x^2}}$ $+ ax \frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \frac{\partial{u}}{\partial{t}}$ , , και $x \in \mathbb{R}$ , .
Δείξτε ότι αν $g(t)= e^{-t^{-a}} \chi_{(0,\infty)}(t)$ , τότε η συνάρτηση $u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty}g^{(n)}(t) \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ είναι μια λύση της παραπάνω μερικής διαφορικής εξίσωσης που ικανοποιεί και τη δοσμένη συνοριακή συνθήκη.

stranger έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2024 10:34 pm
26)
Έστω $U \subseteq \mathbb{R}^n$ ανοιχτό και συνεκτικό και μια συνάρτηση που ανήκει στον χώρο Sobolev $W^{1,p}(U)$ , όπου .
Θεωρούμε ότι οι ασθενείς μερικοί παράγωγοι της ικανοποιούν $\frac{\partial{u}}{\partial{x_i}} = 0$ σχεδόν παντού στο για κάθε .
Δείξτε ότι σχεδόν παντού στο .

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 21, 2024 4:15 pm
27) α) Βρείτε την γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης $\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{x}{2} \frac{du}{dx} = 0$ .
β) Χρησιμοποιώντας το α) βρείτε μια λύση της μερικής διαφορικής εξίσωσης $\frac{\partial{u}}{\partial{t}} = \frac{\partial{^2u}}{\partial{x^2}}$ , $x \in \mathbb{R}$ , που να ικανοποιεί την συνοριακή συνθήκη .

Πολλές ασκήσεις, λίγες απαντήσεις!

#78

stranger έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 30, 2024 1:50 pm
Πολλές ασκήσεις, λίγες απαντήσεις!

Κώστα, έχεις δίκιο. Όμως ας σχολιάσω ότι πρόκειται για δύσκολες ασκήσεις και όσες από αυτές έχω λύσει, θέλουν χρονοβώρα πληκτρολόγιση. Για παράδειγμα πριν από λίγο έγραφα την λύση μιας ωραιότατης άσκησης που έθεσες στην Τοπολογία (ποστ #87 εδώ), που την χάρηκα πάρα πολύ αλλά όμως μου πήρε μιάμιση ώρα να πληκτρολογίσω και πολλές μέρες να λύσω (με ενδιάμεσα χρονικά κένα, γιατί δεν έβρισκα συνεχόμενο χρόνο).

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 13, 2023 5:26 pm

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 13, 2023 5:26 pm
20)
Έστω $(X,\mu)$ ένας χώρος πεπερασμένου μέτρου και μετρήσιμη.
Δείξτε ότι η είναι ολοκληρώσιμη αν και μόνο αν η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty} \mu(\{x: |f(x)| \geq n\})$ συγκλίνει.
Επαναφορά για την 20.

Θα γράψω λύση, αλλά υπομονή...

stranger · #79

Προτείνω στους διαχειριστές να μετονομάσουν το συγκεκριμένο θέμα σε Ασκήσεις Ανάλυσης.
Για να μην ανοίγω καινούργιο θέμα και χαθούν οι προηγούμενες ασκήσεις.
Επειδή έχω σκοπό να βάζω ασκήσεις από όλο το εύρος της ανάλυσης και όχι μόνο στη θεωρία μέτρου.

#80

stranger έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 08, 2024 3:05 pm
Προτείνω στους διαχειριστές να μετονομάσουν το συγκεκριμένο θέμα σε Ασκήσεις Ανάλυσης.
Για να μην ανοίγω καινούργιο θέμα και χαθούν οι προηγούμενες ασκήσεις.
Επειδή έχω σκοπό να βάζω ασκήσεις από όλο το εύρος της ανάλυσης και όχι μόνο στη θεωρία μέτρου.

Κώστα, ίσως βοηθάει: Υπάρχει παλαιότερο μεγάλο θρεντ με Ασκήσεις Ανάλυσης εδώ. Επίσης υπάρχει ένα (μικρό) θρεντ με Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης εδώ.

Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου

Μέλη σε σύνδεση