Άλγεβρα ή Ημιδακτύλιος

lefsk · #1

Είναι εύκολο να καταλάβω αν $\alpha$ είναι άλγεβρα ή ημιδακτύλιος?
Έστω $\alpha \subset P(\Omega)$ ( $P(\Omega)$ δυναμοσύνολο του $\Omega$ ) : $A, B\in \alpha \Rightarrow A\cup B \in \alpha, A \cap B \in \alpha$ . Η $\alpha$ είναι άλγεβρα ή ημιδακτύλιος?

Ξέρω ότι αν $\Omega \neq \varnothing$ και $\alpha \subset P(\Omega)$ τότε
$\alpha -$ άλγεβρα $\Leftrightarrow$

i) $\Omega \in \alpha$ (ή $\Omega , \varnothing \in \alpha$ )

ii) $A \in \alpha \Rightarrow A^{c} \in \alpha$

iii) $A \in \alpha \Rightarrow A \cup B \in \alpha (\Leftarrow) A \cap B \in \alpha$

(ή αν $A_{i} \in \alpha ,i=1,2,...,n \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} \in \alpha$ )

Ξέρω, επίσης, ότι $\alpha \subset P(\Omega)$ λέγεται ημιδακτύλιος αν:

i) $A, B \in \alpha \Rightarrow A \cap B \in \alpha$

ii) $A, B \in \alpha \Rightarrow$ υπάρχει πεπερασμένη οικογένεια $\begin{Bmatrix} A_{j}, j=1,2,...,n \end{Bmatrix}$ με $A_{j} \in \alpha$ για κάθε

και $A_{j} \cap A_{k} = \varnothing$ για κάθε $j \neq k$ : $A-B = \bigcup_{j=1}^{n}A_{j}$

Οπότε δεν έχω αρκετές πληροφορίες για να πω ότι $\alpha$ είναι άλγεβρα αλλά έχω αρκετά στοιχεία για να πω ότι $\alpha$ είναι ημιδακτύλιος;

#2

Για να δείξεις ότι είναι άλγεβρα/ημιδακτύλιος θες απόδειξη. Για να δείξεις ότι δεν είναι θες αντιπαράδειγμα.

Εδώ έχουμε και στα δύο αντιπαράδειγμα αν πάρουμε $\alpha = \{\Omega\}$ . Είναι αντιπαράδειγμα επειδή ικανοποιεί τα δεδομένα αλλά $\emptyset \notin A$ .

lefsk · #3

$\alpha = \{ \Omega \}$ .

$\Omega, \Omega \in \alpha \Rightarrow \Omega \cup \Omega = \Omega \in \alpha$ και

$\Omega \cap \Omega = \Omega \in \alpha$ .

Αλλά $\varnothing = \Omega^{c} \notin \alpha$

Άρα $\alpha$ δεν είναι ούτε άλγεβρα ούτε ημιδακτύλιος.

Άλγεβρα ή Ημιδακτύλιος

Άλγεβρα ή Ημιδακτύλιος

Re: Άλγεβρα ή Ημιδακτύλιος

Re: Άλγεβρα ή Ημιδακτύλιος

Μέλη σε σύνδεση