Ικανή συνθήκη για tightness

v2gls · #1

Έστω $(\mu_n)_n$ ακολουθία μέτρων πιθανότητας στον $\mathbb{R}^{d}$ .
Η $(\mu_n)_n$ είναι tight (δε γνωρίζω την ελληνική ορολογία) αν για κάθε $\epsilon >0$ υπάρχει $K_\epsilon$ συμπαγές $\subseteq \mathbb{R}^{d}$ τέτοιο ώστε $\sup \limits_n \mu_n (K_\epsilon^c) < \epsilon$ .

Θέλω να δείξω ότι ικανή συνθήκη για να είναι η ακολουθία tight είναι η εξής :
υπάρχει $f:\mathbb{R}^{d} \rightarrow [0, \infty)$ συνεχής τέτοια ώστε $\sup \limits_n \int f d \mu_n < \infty$ και $\lim \limits_{|x|\rightarrow \infty} f(x) = \infty$ .

Μια πιθανή αρχή θα ήταν χρησιμοποιώντας την ανισότητα markov για την f, δηλαδή $\mu_n (f> \epsilon) \leqslant \frac{1}{\epsilon} \int \limits_{\{f>\epsilon\}} f d \mu_n$ και να θέσουμε $K_\epsilon = \{f \leqslant \epsilon\}$ . Το $K_\epsilon$ είναι συμπαγές ως κλειστό( f είναι συνεχής ) και φραγμένο (λόγο του ορίου της f στο άπειρο) υποσύνολο του $\mathbb{R}^{d}$ . Μετά δε ξέρω πως να συνεχίσω.

(αν και η ερώτηση αφορά μέτρα πιθανότητας προτιμώ να τη βάλω εδώ γιατί η λύση έχει μόνο επιχειρήματα ανάλυσης)
(Δεν είμαι απόλυτα σίγουρος ότι ισχύει το παραπάνω. Αν υπάρχει κάποιο αντιπαράδειγμα είναι ευπρόσδεκτο )

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

v2gls έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 08, 2018 5:55 pm
Έστω $(\mu_n)_n$ ακολουθία μέτρων πιθανότητας στον $\mathbb{R}^{d}$ .
Η $(\mu_n)_n$ είναι tight (δε γνωρίζω την ελληνική ορολογία) αν για κάθε $\epsilon >0$ υπάρχει $K_\epsilon$ συμπαγές $\subseteq \mathbb{R}^{d}$ τέτοιο ώστε $\sup \limits_n \mu_n (K_\epsilon^c) < \epsilon$ .

Θέλω να δείξω ότι ικανή συνθήκη για να είναι η ακολουθία tight είναι η εξής :
υπάρχει $f:\mathbb{R}^{d} \rightarrow [0, \infty)$ συνεχής τέτοια ώστε $\sup \limits_n \int f d \mu_n < \infty$ και $\lim \limits_{|x|\rightarrow \infty} f(x) = \infty$ .

Μια πιθανή αρχή θα ήταν χρησιμοποιώντας την ανισότητα markov για την f, δηλαδή $\mu_n (f> \epsilon) \leqslant \frac{1}{\epsilon} \int \limits_{\{f>\epsilon\}} f d \mu_n$ και να θέσουμε $K_\epsilon = \{f \leqslant \epsilon\}$ . Το $K_\epsilon$ είναι συμπαγές ως κλειστό( f είναι συνεχής ) και φραγμένο (λόγο του ορίου της f στο άπειρο) υποσύνολο του $\mathbb{R}^{d}$ . Μετά δε ξέρω πως να συνεχίσω.

(αν και η ερώτηση αφορά μέτρα πιθανότητας προτιμώ να τη βάλω εδώ γιατί η λύση έχει μόνο επιχειρήματα ανάλυσης)
(Δεν είμαι απόλυτα σίγουρος ότι ισχύει το παραπάνω. Αν υπάρχει κάποιο αντιπαράδειγμα είναι ευπρόσδεκτο )

Είσαι δίπλα από την λύση.
Το αποτέλεσμα ισχύει.
Οι ιδέες σου είναι σωστές.
Ενα τακ είναι.
Δεν θελω να το κάνω εγω.

v2gls · #3

θέτουμε $M = \sup \int f d \mu_n < \infty$ και για σταθερό $\epsilon >0$ θέτουμε $K_\epsilon = \{f \leqslant \frac{2M}{\epsilon} \}$ ?

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

v2gls έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 09, 2018 2:15 pm
θέτουμε $M = \sup \int f d \mu_n < \infty$ και για σταθερό $\epsilon >0$ θέτουμε $K_\epsilon = \{f \leqslant \frac{2M}{\epsilon} \}$ ?

Ακριβώς.
Αν θες γράψε πλήρως την λύση.
Δεν είναι τίποτα.
Αυτό και η ανισότητα στο προηγούμενο ποστ είναι.

v2gls · #5

θέτουμε $M=\sup \limits_n \int f d \mu_n$ .
Έστω $\epsilon > 0$ .
Η ανισότητα markov δίνει $\mu_n (f > \frac{2M}{\epsilon} ) \frac{2M}{\epsilon} < \int \limits_{ \{f > \frac{2M}{\epsilon} \}} f d \mu_n \leqslant M$ .
Οπότε $\sup \mu_n (f > \frac{2M}{\epsilon} ) \leqslant \frac{\epsilon}{2}$ , όπου θέτοντας $K_{\epsilon} = \{f \leqslant \frac{2M}{\epsilon} \}$ (συμπαγές ως κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του $\mathbb{R}^{d}$ ) παίρνουμε τελικά ότι $\sup \limits_n \mu_n(K_{\epsilon}^c) < \epsilon$ .

Ικανή συνθήκη για tightness

Ικανή συνθήκη για tightness

Re: Ικανή συνθήκη για tightness

Re: Ικανή συνθήκη για tightness

Re: Ικανή συνθήκη για tightness

Re: Ικανή συνθήκη για tightness

Μέλη σε σύνδεση