Πυρήνες Riesz

v2gls · #1

Θα ήθελα τη γνώμη/υπόδειξή σας στο εξής :
Ως πυρήνα Riesz εννοούμε την συνάρτηση $k_a(x)= \frac{1}{|x|^{d-a}} \, για\, 0<a<d\,$ για $x\in\mathbb{R}^{d}$ .
Επίσης έστω $\mu$ μέτρο πιθανότητας στον $\mathbb{R}^{d}$ με πυκνότητα $f\in L^p(\mathbb{R}^{d})$ για $p>\frac{d}{a}$ και supp(f)

συμπαγές.

Να δειχθεί ότι 1) $\lim \limits_{|x| \to \infty} \displaystyle{\int \frac{1}{|x-y|^{d-a}} d\mu(y) = 0}$

και 2) θέτουμε, για $x\in\mathbb{R}^{d}$ , $\, V(x)= - \displaystyle{\int \frac{1}{|x-y|^{d-a}} d \mu(y)} + [\,|x|-R\,]_{+}$

όπου R τέτοιο ώστε $supp(\mu)\subset B(0,R)$ . Να δειχθεί ότι $\int\exp(-V(x))dx < +\infty$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

v2gls έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 31, 2018 5:00 pm
Θα ήθελα τη γνώμη/υπόδειξή σας στο εξής :
Ως πυρήνα Riesz εννοούμε την συνάρτηση $k_a(x)= \frac{1}{|x|^{d-a}} \, για\, 0<a<d\,$ για $x\in\mathbb{R}^{d}$ .
Επίσης έστω $\mu$ μέτρο πιθανότητας στον $\mathbb{R}^{d}$ με πυκνότητα $f\in L^p(\mathbb{R}^{d})$ για $p>\frac{d}{a}$ και συμπαγές.

Να δειχθεί ότι 1) $\lim \limits_{|x| \to \infty} \displaystyle{\int \frac{1}{|x-y|^{d-a}} d\mu(y) = 0}$

και 2) θέτουμε, για $x\in\mathbb{R}^{d}$ , $\, V(x)= - \displaystyle{\int \frac{1}{|x-y|^{d-a}} d \mu(y)} + [\,|x|-R\,]_{+}$

όπου R τέτοιο ώστε $supp(\mu)\subset B(0,R)$ . Να δειχθεί ότι $\int\exp(-V(x))dx < +\infty$

Νομίζω ότι μπορείς να το αντιμετωπίσεις και μόνος σου.
Γράψε τις σκέψεις σου και εδώ είμαστε.

v2gls · #3

Για το 1) αν q ο συζυγής εκθέτης του p $|\int_{supp(f)} \frac{1}{|x-y|^{d-a}} f(y)dy | \leqslant ({\int_{s(f)} \frac{1}{|x-y|^{(d-a)q}}dy })^{\frac{1}{q}} (\int_{s(f)} {|f|}^{p})^{\frac{1}{p}}$
όπου το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι πεπερασμένο από υπόθεση.
Ενώ για το πρώτο έχουμε :
$0\leqslant {\int_{s(f)} \frac{1}{|x-y|^{(d-a)q}}dy } \leqslant {\int_{B(0,r)} \frac{1}{|x-y|^{(d-a)q}}dy } = O(\frac{1}{{|x|}^{(d-a)q}})$ όπου η δεύτερη ανισότητα ισχύει επειδή η f έχει συμπαγή φορέα και τελευταία ισότητα προκύπτει από το αντίστοιχο ανάπτυγμα σε σειρά.
και άρα $\lim \limits_{|x| \to \infty} {\int_{s(f)} \frac{1}{|x-y|^{(d-a)q}}dy } = 0$

Για το 2) με πράξεις μπορούμε να δείξουμε ότι $\int\exp(-V(x))dx \leqslant \int_{\mathbb{R}^{d}} \exp{( \displaystyle{\int \frac{1}{|x-y|^{d-a}} d \mu(y)}}) dx$ και μετά μάλλον πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το 1 ;; ίσως χρειάζεται και μια jensen για εναλλαγή του εκθετικού με το δεύτερο ολοκλήρωμα ;;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

v2gls έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 02, 2018 9:47 pm
Για το 1) αν q ο συζυγής εκθέτης του p $|\int_{supp(f)} \frac{1}{|x-y|^{d-a}} f(y)dy | \leqslant ({\int_{s(f)} \frac{1}{|x-y|^{(d-a)q}}dy })^{\frac{1}{q}} (\int_{s(f)} {|f|}^{p})^{\frac{1}{p}}$
όπου το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι πεπερασμένο από υπόθεση.
Ενώ για το πρώτο έχουμε :
$0\leqslant {\int_{s(f)} \frac{1}{|x-y|^{(d-a)q}}dy } \leqslant {\int_{B(0,r)} \frac{1}{|x-y|^{(d-a)q}}dy } = O(\frac{1}{{|x|}^{(d-a)q}})$ όπου η δεύτερη ανισότητα ισχύει επειδή η f έχει συμπαγή φορέα και τελευταία ισότητα προκύπτει από το αντίστοιχο ανάπτυγμα σε σειρά.
και άρα $\lim \limits_{|x| \to \infty} {\int_{s(f)} \frac{1}{|x-y|^{(d-a)q}}dy } = 0$

Για το 2) με πράξεις μπορούμε να δείξουμε ότι $\int\exp(-V(x))dx \leqslant \int_{\mathbb{R}^{d}} \exp{( \displaystyle{\int \frac{1}{|x-y|^{d-a}} d \mu(y)}}) dx$ και μετά μάλλον πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το 1 ;; ίσως χρειάζεται και μια jensen για εναλλαγή του εκθετικού με το δεύτερο ολοκλήρωμα ;;

Το 1) σωστά το έχεις.
Να σημειώσω ότι δεν χρειάζεται καν ότι το μέτρο είναι απόλυτα συνεχές.Αρκεί να έχει συμπαγή φορέα.
Φυσικά η απόδειξη θα αλλάξει .
Αν $supp(\mu )\subseteq B(0,r)$
τότε για $\left | x \right |\geq 2r$ είναι
$\int \frac{d\mu (y)}{\left | x-y \right |^{d-a}}\leq \frac{1}{(\left | x \right |-r)^{d-a}}$
και το παίρνουμε άμεσα.
Για το 2) χρειάζεται η υπόθεση ότι το μέτρο είναι συνεχές και η εκτίμηση που έκανες παραπάνω.Ξέχασες και τον δεύτερο όρο.
Προσπάθησε.

Πυρήνες Riesz

Πυρήνες Riesz

Re: Πυρήνες Riesz

Re: Πυρήνες Riesz

Re: Πυρήνες Riesz

Μέλη σε σύνδεση