Σύνορο συνόλου

Mathletic · #1

Γειά σας,

θέλω να το σύνορο του συνόλου $A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : y=\sin\frac{1}{x}, x\in (0,\frac{1}{\pi})\}$ .

Πρέπει να βρούμε που συγκλίνουν οι ακολουθίες του συνόλου;

Ισχύει ότι $(a_n, b_n)\rightarrow (a,b)\iff a_n\rightarrow a$ και $b_n\rightarrow b$ .

Θεωρούμε τις περιπτώσεις $a\neq 0$ και a=0

.

Αν $a\neq 0$ : Έστω $(a_k,b_k)\in M$ . Έχουμε ότι $a_k\neq 0, \forall k\geq k_0$ αφού $a_k\rightarrow a\neq 0$ .
Επίσης έχουμε ότι $b_k=\sin\frac{1}{a_k}\rightarrow b\in [-1,1]$ .
Τότε $(a_k, b_k)=\left (a_k,\sin\frac{1}{a_k}\right )\rightarrow \left (a, \sin\frac{1}{a}\right )$ . Που ανήκει το στοιχείο αυτό;

Αν a=0

: Έστω $(a_k,b_k)\in M$ . Έχουμε ότι $a_k\rightarrow a=0$ και $b_k=\sin\frac{1}{a_k}\rightarrow b\in [-1,1]$ .
Άρα, $(a_k, b_k)\rightarrow (0,b)\in \{0\}\times [-1,1]$ , ή όχι;

Είναι σωστά αυτά που έχω κάνει;

#2

Mathletic έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 15, 2018 10:38 am
θέλω να το σύνορο του συνόλου $A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : y=\sin\frac{1}{x}, x\in (0,\frac{1}{\pi})\}$ .

Πρέπει να βρούμε που συγκλίνουν οι ακολουθίες του συνόλου; ..

Ερωτήσεις:
1) Πώς ορίζεται το σύνορο ενός υποσυνόλου

στον τ.χ. $\mathbb{R}^2$ ;
2) Με ποιον τρόπο τα όρια των ακολουθιών ενός συνόλου στον τ.χ. $\mathbb{R}^2$ μας δίνουν την δυνατότητα εύρεσης του συνόρου του;
π.χ. Στον μοναδιαίο δίσκο $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;|\; x^2+y^2\leqslant 1\}$ η ακολουθία $\big(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\big)_{n\in\mathbb{N}}$ έχει όριο το σημείο (0,0)

του

. Ποια είναι η σχέση του σημείου (0,0)

με το σύνορο $\partial D$ ;

Mathletic · #3

Ένα σημείο λέγεται συνοριακό αν κάθε περιοχή του χ περιέχει και σημείο του συνόλου και σημείο του συμπληρώματος. Άρα ψάχνουμε το σύνολο όλων των συνοριακών σημείων. Αλλά πώς μπορούμε να βρούμε αυτό το σημείο;

#4

Mathletic έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 15, 2018 11:45 am
Ένα σημείο λέγεται συνοριακό αν κάθε περιοχή του χ περιέχει και σημείο του συνόλου και σημείο του συμπληρώματος. Άρα ψάχνουμε το σύνολο όλων των συνοριακών σημείων. Αλλά πώς μπορούμε να βρούμε αυτό το σημείο;

Σωστά. Προτείνω να εντοπίσεις, κατ' αρχήν, "διαισθητικά" αυτά τα σημεία. Δηλαδή το σύνορο του συνόλου. (Σχεδίασε το σύνολο)

Mathletic · #5

Το σύνολο είναι το εξής:

: sin.JPG (161.6 KiB) Προβλήθηκε 1827 φορές

Στο σύνορο θα ανήκουν όλα τα σημεία του συνόλου και πρέπει να δούμε αν υπάρχουν και άλλα στοιχεία που ανήκουν στο σύνορο, σωστά; Αλλά πώς ακριβώς;

#6

Mathletic έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 15, 2018 12:01 pm
Στο σύνορο θα ανήκουν όλα τα σημεία του συνόλου και πρέπει να δούμε αν υπάρχουν και άλλα στοιχεία που ανήκουν στο σύνορο, σωστά; Αλλά πώς ακριβώς;

Σωστά! Για τα άλλα σημεία (αν υπάρχουν) χρησιμοποίησε "διαισθητικά" (στο γράφημα) τον ορισμό του συνοριακού σημείου που ανέφερες παραπάνω. Μπορείς να βρεις κάποιο άλλο σημείο που ανήκει στο σύνορο και ΔΕΝ είναι σημείο του συνόλου;

#7

Mathletic έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 15, 2018 12:01 pm
Στο σύνορο θα ανήκουν όλα τα σημεία του συνόλου και πρέπει να δούμε αν υπάρχουν και άλλα στοιχεία που ανήκουν στο σύνορο, σωστά; Αλλά πώς ακριβώς;

Ας δώσουμε μια συνέχεια στο θέμα: Εκτός του σημείου $\big(\frac{1}{\pi},0\big)$ , το οποίο, λόγω της συνέχειας της $\sin\frac{1}{x}$ στο $x=\frac{1}{\pi}$ , είναι συνοριακό σημείο, ισχυρίζομαι ότι, τα σημεία $(0,y_0)\in\mathbb{R}^2\,,\; y_0\in[-1,1]\,,$ είναι, επίσης, συνοριακά σημεία. Δηλαδή ισχύει

$\big(\forall\,y_0\in[-1,1]\big)(\forall\varepsilon>0)\big(\exists\, x\in\big(0,\frac{1}{\pi}\big)\big)\quad\big(x,\sin\frac{1}{x}\big)\in B\big((0,y_0),\varepsilon\big)$ .

Αρκεί, για κάθε $y_0\in[-1,1]$ , το σύστημα

$\left\{\begin{array}{c} |x|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \big|\sin\frac{1}{x}-y_0\big|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 0<x<\frac{1}{\pi} \end{array}\right\}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{c} x<\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} y_0-\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}<\sin\frac{1}{x}<y_0+\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 0<x<\frac{1}{\pi} \end{array}\right\}$

να έχει λύση ως προς

.

Κάποια ιδέα;

sot arm · #8

Εναλλακτικά, μπορούμε να κάνουμε και το εξής:
Επί της ουσίας δοθέντος ενός $\displaystyle{y_{0} \in [-1,1]}$ θέλουμε ακολουθία σημείων της $\displaystyle{C_{f}}$ τέτοια ώστε:
$\displaystyle{(x_{n},f(x_{n}))\rightarrow (0,y_{0})}$ .

Αφού: $\displaystyle{y_{0} \in [-1,1]}$ υπάρχει κάποιο $\displaystyle{x_{0} \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}$ τέτοιο ώστε:
$\displaystyle{sin(x_{0})=y_{0}}$ .

Αν πάρω $\displaystyle{x_{n}=\frac{1}{2n \pi +x_{0}}\rightarrow 0}$
τότε: $\displaystyle{f(x_{n})\rightarrow y_{0}}$ και τελειώσαμε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Απρ 17, 2018 11:39 am

Mathletic έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 15, 2018 12:01 pm
Στο σύνορο θα ανήκουν όλα τα σημεία του συνόλου και πρέπει να δούμε αν υπάρχουν και άλλα στοιχεία που ανήκουν στο σύνορο, σωστά; Αλλά πώς ακριβώς;
Ας δώσουμε μια συνέχεια στο θέμα: Εκτός του σημείου $\big(\frac{1}{\pi},0\big)$ , το οποίο, λόγω της συνέχειας της $\sin\frac{1}{x}$ στο $x=\frac{1}{\pi}$ , είναι συνοριακό σημείο, ισχυρίζομαι ότι, τα σημεία $(0,y_0)\in\mathbb{R}^2\,,\; y_0\in[-1,1]\,,$ είναι, επίσης, συνοριακά σημεία. Δηλαδή ισχύει

$\big(\forall\,y_0\in[-1,1]\big)(\forall\varepsilon>0)\big(\exists\, x\in\big(0,\frac{1}{\pi}\big)\big)\quad\big(x,\sin\frac{1}{x}\big)\in B\big((0,y_0),\varepsilon\big)$ .

Αρκεί, για κάθε $y_0\in[-1,1]$ , το σύστημα

$\left\{\begin{array}{c} |x|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \big|\sin\frac{1}{x}-y_0\big|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 0<x<\frac{1}{\pi} \end{array}\right\}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{c} x<\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} y_0-\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}<\sin\frac{1}{x}<y_0+\frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 0<x<\frac{1}{\pi} \end{array}\right\}$

να έχει λύση ως προς .

Κάποια ιδέα;

Υπάρχει $c\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],\sin c=y_{0}$

Ετσι μπορούμε να διαλέξουμε $n\in \mathbb{N}$

ώστε το $x=\frac{1}{2n\pi +c}$ να κάνει την δουλειά.

Στην ουσία το ίδιο έκανε και ο Σωτήρης παραπάνω.

Το σύνολο αυτό είναι το κλασσικό παράδειγμα συνόλου που είναι συνεκτικό
και ΔΕΝ είναι κατά τόξα συνεκτικό.

Συμπλήρωμα. Το σύνορο του συνόλου εννοώ. Όχι το αρχικό σύνολο.

Σύνορο συνόλου

Σύνορο συνόλου

Re: Σύνορο συνόλου

Re: Σύνορο συνόλου

Re: Σύνορο συνόλου

Re: Σύνορο συνόλου

Re: Σύνορο συνόλου

Re: Σύνορο συνόλου

Re: Σύνορο συνόλου

Re: Σύνορο συνόλου

Μέλη σε σύνδεση