Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 09

#1

Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η ακολουθία συναρτήσεων $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}$ που ορίζεται ως

$f_n(x)=\dfrac{x^n}{n!}\,, \quad x\in\mathbb{R}\,.$

#2

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 18, 2018 8:43 am
Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η ακολουθία συναρτήσεων $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}$ που ορίζεται ως

$f_n(x)=\dfrac{x^n}{n!}\,, \quad x\in\mathbb{R}\,.$

Σε οποιοδήποτε φραγμένο σύνολο συγκλίνει ομοιόμορφα: Αν $|x|\le M$ τότε $\displaystyle{\left | \dfrac{x^n}{n!}\right|\le \dfrac{M^n}{n!}\to 0}$ (διότι π.χ. η σειρά
$\displaystyle{ \sum \dfrac{M^n}{n!}= e^M}$ συγκλίνει από το κριτήριο λόγου).

Η σύγκλιση δεν είναι ομοιόμορφη στο $\displaystyle{\mathbb R}$ διότι αν $\displaystyle{x_n=n!, \, y_n=n! + \frac {1}{n}}$ τότε $\displaystyle{y_n-x_n\to 0}$ αλλά από ανισότητα Bernoulli

$\displaystyle{ \dfrac{y_n^n}{n!}-\dfrac{x_n^n}{n!} = \dfrac{\left (n! + \frac {1}{n}\right ) ^n - (n!)^n }{n!}= \dfrac{(n!)^n\left (1+ \frac {1}{n!n}\right ) ^n - (n!)^n }{n!}}}$

$\displaystyle{ \ge \dfrac{(n!)^n\left (1+ \frac {1}{n!}\right ) - (n!)^n }{n!} = (n!)^{n-2}\ge 1}$

simantiris j. · #3

Καλημέρα!Μια λύση με επιφύλαξη μιας και είναι η πρώτη φορά που ασχολούμαι με τη έννοια της ομοιόμορφης σύγκλισης.
Αρχικά είναι $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x}{n+1}=0<1$ για κάθε χ.Άρα η f_n(x)

συγκλίνει(από κριτήριο λόγου) κατα σημείο στη μηδενική.
Επίσης για τυχαίο αλλά σταθερό $n\in \mathbb{N}$ είναι $sup\left | f_n(x)\right |\geq f_n(n)=\frac{n^n}{n!}>1$ άρα η $sup\left | f_n(x)\right |$ δε συγκλίνει στο

άρα η συγκλιση δεν είναι ομοιόμορφη.

#4

Ακόμα μια για την ομοιόμορφη σύγκλιση της ακολουθίας συναρτήσεων $f_n(x)=\frac{x^n}{n!}\,, \; x\in{\mathbb{R}}\,,\; n\in{\mathbb{N}}\,.$ :
Περιοριζόμενοι για x>0

παρατηρούμε ότι $\big(\exists\,\varepsilon=\frac{1}{2}>0\big)(\forall\,n_0\in{\mathbb{N}})(\exists\, x=n_0>0)(\exists\, n=n_0\in{\mathbb{N}})$

$n\geqslant n_0\quad \wedge\quad \big|f_{n_0}(n_0)-0\big|=\dfrac{n_0^{n_0}}{n_0!}>\dfrac{1}{2}=\varepsilon$ .
Επομένως η ακολουθία $\{f_n\}_{n\in{\mathbb{N}}}$ δεν συγκλίνει ομοιόμορφα στην μηδενική για x>0

και, συνεπώς, και για $x\in{\mathbb{R}}$ .

edit: 9:50. Ουσιαστικά είναι ίδια λύση με αυτήν που έδωσε ο Σημαντήρης Γιάννης παραπάνω. Αλλά γράφαμε ταυτόχρονα.

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 09

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 09

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 09

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 09

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 09

Μέλη σε σύνδεση