Ακολουθία συναρτήσεων και όριο ολοκληρώματος

#1

Έστω η ακολουθία συναρτήσεων $g_n:[0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}$ που ορίζονται ως
$g_n(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{\frac{1}{n}}\log(1+x)}{x\,(1+x^{\frac{2}{n}})^{\frac{3}{2}}}\,,& x\in(0,1]\\ 0\,,& x=0\end{cases}\,,\quad n\in\mathbb{N}\,.$

Να εξετασθεί αν η ακολουθία $\{g_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στο .
Να υπολογισθεί το $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\int_{\frac{1}{n}}^{1}g_n(x)\,dx\,.$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

grigkost έγραψε:Έστω η ακολουθία συναρτήσεων $g_n:[0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}$ που ορίζονται ως
$g_n(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{\frac{1}{n}}\log(1+x)}{x\,(1+x^{\frac{2}{n}})^{\frac{3}{2}}}\,,& x\in(0,1]\\ 0\,,& x=0\end{cases}\,,\quad n\in\mathbb{N}\,.$

Να εξετασθεί αν η ακολουθία $\{g_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στο .

Να υπολογισθεί το $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\int_{\frac{1}{n}}^{1}g_n(x)\,dx\,.$

i)
Κάθε $g_{n}$ είναι συνεχής.

Για $0< x\leq 1$ έχουμε $x^{\frac{1}{n}}\rightarrow 1$

Αρα για $0< x\leq 1$ προκύπτει $g_{n}(x)\rightarrow \dfrac{ln(1+x)}{x2^{\frac{3}{2}}}$

Εχουμε σύγκλιση κατά σημείο στην

$g(x)= \dfrac{ln(1+x)}{x2^{\frac{3}{2}}}$ για $0< x\leq 1$

και g(0)=0

που δεν είναι συνεχής.

Αρα δεν έχουμε ομοιόμορφη σύγκλιση.
ii)
Εχουμε $0\leq g_{n}(x)\leq \frac{ln(1+x)}{x}\leq 1$

Απο το Θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue τα ολοκληρώματα συγκλίνουν στο

$\int_{0}^{1}\frac{ln(1+x)}{x2^{\frac{3}{2}}}dx$

Παρατήρηση.
Αν θέλουμε να αποφύγουμε το κυριαρχημένης σύγκλισης τότε πρέπει να δείξουμε ότι η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη
στο $[\epsilon ,1],\epsilon > 0$ και να κάνουμε κοψίματα ραψίματα στα ολοκληρώματα.

Συμπλήρωμα.Το ολοκλήρωμα είναι $\frac{\pi ^{2}}{12}.\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}$

Προκύπτει αναπτύσοντας σε σειρά τον λογάριθμο και λαμβάνοντας υπ όψιν ότι

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{6}$

#3

και κάπως διαφορετικά:

Η ακολουθία g_n

είναι ομοιόμορφα φραγμένη. Συγκεκριμένα, υπάρχει M>0

, έτσι ώστε $n\in\mathbb{N}\,,\; x\in[0,1]$ :

$\begin{aligned} 0\leqslant g_n(x)\leqslant M\quad &\Rightarrow\quad0\leqslant\int_{0}^{\frac{1}{n}} g_n(x)\,dx\leqslant M\int_{0}^{\frac{1}{n}}dx\\ & \Rightarrow\quad0\leqslant\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\int_{0}^{\frac{1}{n}} g_n(x)\,dx\leqslant M\cancelto{0}{\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\int_{0}^{\frac{1}{n}}dx}=0\\ & \Rightarrow\quad \mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\int_{0}^{\frac{1}{n}} g_n(x)\,dx=0\quad (1) \end{aligned}$

Από το Θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης έχουμε ότι

$\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\int_{0}^{1} g_n(x)\,dx=\int_{0}^{1} g(x)\,dx\stackrel{(*)}{=}\frac{\pi^2\sqrt{2}}{48}\quad (2)\,.$

Επομένως

$\begin{aligned} \mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\int_{\frac{1}{n}}^{1}g_n(x)\,dx&=\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\bigg(\int_{0}^{1}g_n(x)\,dx-\int_{0}^{\frac{1}{n}} g_n(x)\,dx\bigg)\\ &=\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}g_n(x)\,dx-\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\int_{0}^{\frac{1}{n}} g_n(x)\,dx\\ &\stackrel{(1)\,(2)}{=\!=\!=}\frac{\pi^2\sqrt{2}}{48}\,. \end{aligned}$

Ακολουθία συναρτήσεων και όριο ολοκληρώματος

Ακολουθία συναρτήσεων και όριο ολοκληρώματος

Re: Ακολουθία συναρτήσεων και όριο ολοκληρώματος

Re: Ακολουθία συναρτήσεων και όριο ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση