Μονότονο... πολυώνυμο

M.S.Vovos · #1

Θα ήθελα τη γνώμη του

!

Προσπαθώντας να κάνω κάποιες γενικεύσεις σε μία άσκηση γ' λυκείου, μου προέκυψε το παρακάτω.

Έστω ο n=1,2,3,...

. Θεωρούμε την ομαλή συνάρτηση

ορισμένη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών $\mathbb{R}$ , με ${f^{(n)}}(0) = f(0) = 0$ , για την οποία, για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύουν:

$\displaystyle \bullet \hspace{0.3cm} {\left( {f \circ {f^{(n)}}} \right)(x) = {f^{(n + 1)}}(x) \cdot \left( {f' \circ {f^{(n)}}} \right)(x)}$ ,

$\displaystyle{\bullet \hspace{0.3cm}f'(x)\neq 0}$ .

Προφανώς από τις παραπάνω συνθήκες εύκολα δείχνεται ότι η

είναι πολυωνυμική. Το ερώτημα μου είναι:

Mπορούμε να βρούμε όλα τα πολυώνυμα που ικανοποιούν τις ανωτέρω συνθήκες;

Φιλικά,
Μάριος

M.S.Vovos · #2

Επαναφορά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Χρόνια πολλά Μάριε.
Οσο εύκολο είναι να δείξουμε ότι είναι πολυωνυμική το ίδιο εύκολο είναι να την βρούμε.

Η σχέση που δίνεις είναι

$f(f^{(n)}(x))=f^{(n+1)}(x)f'(f^{(n)}(x))$

δηλαδή $f(f^{(n)}(x))=(f(f^{(n)}(x)))'$

Αρα $f(f^{(n)}(x))=ce^{x}$

Για x=0

προκύπτει

Τελικά $f(f^{(n)}(x))=0$

Αφου έχεις δώσει $f'(x)\neq 0$ η συνάρτηση

είναι 1-1.

Αρα $f^{(n)}(x)=0$

Η τελευταία σχέση μας δίνει ότι η

είναι πολυώνυμο βαθμού το πολύ n-1

Τελικά η

είναι πολυώνυμο περιττού βαθμού που είναι μικρότερος η ίσος με n-1

και επιπλέον η παράγωγος του δεν μηδενίζετε.

M.S.Vovos · #4

Σταύρο καλησπέρα.

Συμφωνώ απόλυτα. Την άσκηση την ανέβασα και στις Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές για την γ' λυκείου, απλά αντικατέστησα την f' με g. Η πορεία της λύσης μέχρι αυτό το συμπέρασμα είναι τελείως λυκειακή. Το θέμα είναι αν μπορούμε να βρούμε σχέσεις μεταξύ των συντελεστών του πολυωνύμου.
Δοκίμασα να ανάγω το παραπάνω πρόβλημα σε άλγεβρα με πίνακες και ορίζουσες. Κόλλησε. Πρακτικά το ερώτημα μου είναι αν έχω ένα μονότονο πολυώνυμο το πολύ n-1

βαθμού τότε ποια θα είναι η σχέση των πραγματικών συντελεστών του μετάξυ τους.

Φιλικά,
Μάριος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Γιατί δεν γράφεις Μάριε το ακριβές πρόβλημα;
Αν κατάλαβα καλά το πρόβλημα είναι :

Δίνετε τό $f(x)=a_{n}x^{n}+.......a_{1}x$ με $a_{n}\neq 0$
ώστε $f'(x)\neq 0$
Να βρεθούν σχέσεις που πρέπει να ικανοποιούν οι συντελεστές του πολυωνύμου.

Το

πρέπει αναγκαστικά να είναι περιττός οπότε το f'(x)

θα έχει άρτιο βαθμό.

Δηλαδή πρέπει να χαρακτηρίσουμε τα πραγματικά πολυώνυμα αρτίου βαθμού
που δεν έχουν πραγματικές ρίζες.

Για n=1

το πρόβλημα είναι τετριμμένο ενώ για n=3

εύκολο.
Για n=5

παλεύετε και πρέπει να υπάρχουν σχέσεις.
Για τα αλλά

νομίζω ότι θα είναι γνωστό πρόβλημα.
Λυμένο η άλυτο δεν γνωρίζω.
Επίσης νομίζω ότι περισσότερο κλείνει προς την Αλγεβρα.
Ισως κάποιος από το forum ξέρει κάτι.

M.S.Vovos · #6

Δεν άλλαξα το αρχικό πρόβλημα για λόγους πληρότητας και ακρίβειας της αρχικής εκφώνησης και μόνο.

Σταύρο μήπως τελικά δεν είναι τόσο απλό; Σίγουρα είναι αλγεβρικό τελικά το πρόβλημα. Σίγουρα μέχρι n=3

βγαίνει με άνεση, αλλά από εκεί και μετά το πράμα γίνεται πιο στρυφνό.

Ας μας φωτίσουν, λοιπόν, οι αλγεβριστές. Με προβληματίζει αρκετά για να είμαι ειλικρινείς.

Φιλικά.

Μονότονο... πολυώνυμο

Μονότονο... πολυώνυμο

Re: Μονότονο... πολυώνυμο

Re: Μονότονο... πολυώνυμο

Re: Μονότονο... πολυώνυμο

Re: Μονότονο... πολυώνυμο

Re: Μονότονο... πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση