Εμβαδό δίσκου.

Ωmega Man · #1

Αν η $f:\mathbb C\to\mathbb C$ είναι αναλυτική και 1-1, και

είναι ο ανοιχτός μοναδιαίος δίσκος, τότε το ολοκλήρωμα
$\displaystyle\iint_D|f '(x+iy)|^2dxdy$ είναι ίσο με το εμβαδό του f(D)

.

papel · #2

Γραφουμε την $\displaystyle{f = u + iv}$ .Τοτε η Ιακωβιανη της f ειναι πραγματικη απεικονιση απο το
$\displaystyle{{R^2} \to {R^2}}$ που ειναι η :

$\displaystyle{J = \det \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_x}} & {{u_y}} \\ {{\upsilon _x}} & {{\upsilon _y}} \\ \end{array}} \right)}$

και αξιοποιωντας τις C-R εξισωσεις αφου ειναι αναλυτικη :

$\displaystyle{\det \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_x}} & {{u_y}} \\ {{\upsilon _x}} & {{\upsilon _y}} \\ \end{array}} \right) = \det \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_x}} & { - {\upsilon _x}} \\ {{\upsilon _x}} & {{u_x}} \\ \end{array}} \right) = u_x^2 + \upsilon _x^2 = {\left| {{f_x}} \right|^2} = {\left| {f'} \right|^2}}$

Οποτε :
$\displaystyle{{\iint\limits_{{\Omega _1}} {\left| {f'\left( z \right)} \right|}^2}dxdy = \iint\limits_{{\Omega _1}} {JdA} = \iint\limits_{{\Omega _2}} {1dA}}$

Το τελευταιο ειναι γνωστο σαν Lusin areal integral formula.

Ωmega Man · #3

Πολύ ωραία!

Εμβαδό δίσκου.

Εμβαδό δίσκου.

Re: Εμβαδό δίσκου.

Re: Εμβαδό δίσκου.

Μέλη σε σύνδεση