Σύκλιση (ομ/φη - κ.σ.) οικογένειας ακ/θιών συναρτήσεων

#1

Έστω $\phi(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση.

Ας εξετασθεί ως προς τη σύγκλιση, κατά σημείο ή ομοιόμορφη και σε ποια σύνολα, η ακολουθία συναρτήσεων $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{\big(\phi(x)\big)^{2n}-1}{\big(\phi(x)\big)^{2n}+1}$ .

(Ακολουθώντας το παράδειγμα του φίλου Χρήστου, ας παρακαλέσω και εγώ για μια κατά το δυνατόν λεπτομερή λύση)

Καραδήμας · #2

Πολύ γενικές δεν είναι οι υποθέσεις? Τι περιγραφή να γίνει, αν πάρω διάστημα θα πρέπει να δω τι σχέση έχει με την $\varphi^{-1}(\{1\})$ που μπορεί να είναι οποιοδήποτε κλειστό υποσύνολο της ευθείας.

#3

Τα σύνολα θα περιγραφούν, όπως λες, σύμφωνα με τη σχέση που θα έχει το $|\phi(x)|$ με τη μονάδα. Θα περιγράφονται δηλαδή συναρτήσει της $\phi$ .

Καραδήμας · #4

Τέλος πάντων, μια και την είδα, αυτά λέω και δεν ξέρω αν σε ικανοποιούν: αν t>1

και $A\subseteq \{ |\phi |\geq t\}$ τότε έχω ομοιόμορφη σύγκλιση στην $w\equiv 1$ στο

, αν $0\leq t<1$ και $B\subseteq \{ |\phi |\leq t\}$ τότε έχω ομοιόμορφη σύγκλιση στην $v\equiv -1$ στο

. Κατά σημείο σύγκλιση έχω σε κάθε $\Gamma$ , σε μια συνάρτηση που παίρνει τιμές στο $\{ -1,0,1\}$ .

#5

Μια λύση, κάπως λεπτομερέστερη, για όποιον ενδιαφέρεται :

Έστω $x_{0}\in\mathbb{R}$ . Είναι

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f_{n}(x_{0})=\lim_{n\to+\infty}\frac{\phi(x_{0})^{2n}-1}{\phi(x_{0})^{2n}+1}=\begin{cases}0, & |\phi(x_{0})|=1 \\ -1, & |\phi(x_{0})|<1 \\ 1, & |\phi(x_{0})|>1\end{cases}$ .

Έπεται ότι $f_{n}\stackrel{\kappa.\sigma.}{\rightarrow}f(x):=\begin{cases}0 & x\in\{x\in\mathbb{R}:|\phi(x)|=1\}:=A_{1} \\ -1 & x\in\{x\in\mathbb{R}:|\phi(x)|<1\}:=A_{2} \\ 1 & x\in\{x\in\mathbb{R}:|\phi(x)|>1\}:=A_{3}\end{cases}$ .

Στο $A_{1}$ έχουμε : $\sup_{x\in A_{1}}|f_{n}(x)-f(x)|=0$ , άρα η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη.

$\bullet$ Αν $\forall 0<\varepsilon<1:\exists x\in\mathbb{R}:1-\varepsilon\leq|\phi(x)|<1$ (1), τότε η σύγκλιση στο $A_{2}$ δεν είναι ομοιόμορφη, διότι :

λόγω της (1) μπορώ να βρώ $\{x_{n}\}$ με $\displaystyle\sqrt[2n]{\frac{1}{2}}\leq|\phi(x_{n})|<1$ , συνεπώς $=\displaystyle|f_{n}(x_{n})-f(x_{n})|=\frac{2\phi(x_{n})^{2n}}{\phi(x_{n})^{2n}+1}\geq\frac{1}{2}$ .

$\bullet$ Η σύγκλιση όμως είναι ομοιόμορφη στο σύνονο $\bar{A_{2}}=\{x\in\mathbb{R}:|\phi(x)|\leq1-\varepsilon\}\subseteq A_{2}$ , όπου $0<\varepsilon<1$ .

Πράγματι : $\displaystyle|f_{n}(x)-f(x)|=\frac{2\phi(x_{n})^{2n}}{\phi(x_{n})^{2n}+1}\leq2(1-\varepsilon)^{2n}\to0$ , άρα $\displaystyle\sup_{x\in\bar{A_{2}}}|f_{n}(x)-f(x)|=\frac{2\phi(x_{n})^{2n}}{\phi(x_{n})^{2n}+1}\leq2(1-\varepsilon)^{2n}\to0$ .

Ομοίως :

$\bullet$ Αν $\forall \varepsilon>0:\exists x\in\mathbb{R}:1<|\phi(x)|\leq1+\varepsilon$ (2), τότε η σύγκλιση στο $A_{3}$ δεν είναι ομοιόμορφη, διότι :

λόγω της (2) μπορώ να βρώ $\{x_{n}\}$ με $\displaystyle1\leq|\phi(x_{n})|<\sqrt[2n]{\frac{3}{2}}$ , συνεπώς $=\displaystyle|f_{n}(x_{n})-f(x_{n})|=\frac{2}{\phi(x_{n})^{2n}+1}\geq\frac{4}{5}$ .

$\bullet$ Η σύγκλιση όμως είναι ομοιόμορφη στο σύνονο $\bar{A_{3}}=\{x\in\mathbb{R}:1+\varepsilon\leq|\phi(x)|\}\subseteq A_{3}$ , όπου $0<\varepsilon$ .

Πράγματι : $\displaystyle|f_{n}(x)-f(x)|=\frac{2}{\phi(x_{n})^{2n}+1}\leq\frac{2}{(1+\varepsilon)^{2n}+1}\to0$ , άρα $\displaystyle\sup_{x\in\bar{A_{3}}}|f_{n}(x)-f(x)|\leq\frac{2}{(1+\varepsilon)^{2n}+1}\to0$ .

#6

Πολύ ωραία προσέγγιση Αναστάση!

Σύκλιση (ομ/φη - κ.σ.) οικογένειας ακ/θιών συναρτήσεων

Σύκλιση (ομ/φη - κ.σ.) οικογένειας ακ/θιών συναρτήσεων

Re: Σύκλιση (ομ/φη - κ.σ.) οικογένειας ακ/θιών συναρτήσεων

Re: Σύκλιση (ομ/φη - κ.σ.) οικογένειας ακ/θιών συναρτήσεων

Re: Σύκλιση (ομ/φη - κ.σ.) οικογένειας ακ/θιών συναρτήσεων

Re: Σύκλιση (ομ/φη - κ.σ.) οικογένειας ακ/θιών συναρτήσεων

Re: Σύκλιση (ομ/φη - κ.σ.) οικογένειας ακ/θιών συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση