Υπολογισμός ορίου ακολουθίας

The Notorious N.I.C.K. · #1

Καλησπέρα. Θα ήθελα να ρωτήσω πότε έχω το δικαίωμα σε μία διαδικασία εύρεσης οριου ακολουθίας να εφαρμόσω τις γνωστές μεθόδους εύρεσης ορίου πραγματικού (De L΄ Hospital κλπ).

#2

The Notorious N.I.C.K. έγραψε:Καλησπέρα. Θα ήθελα να ρωτήσω πότε έχω το δικαίωμα σε μία διαδικασία εύρεσης ορίου ακολουθίας να εφαρμόσω τις γνωστές μεθόδους εύρεσης ορίου πραγματικού (De L΄ Hospital κλπ).

Από μαθηματικής άποψης δεν υπάρχει κανένας περιορισμός. Μπορούν όμως να υπάρχουν περιορισμοί που θέτονται είτε από τον διδάσκοντα του μαθήματος, είτε από την θέση που έχει το κεφάλαιο ακολουθιών σε ένα βιβλίο (συνήθως οι ακολουθίες προηγούνται του θεωρήματος De L΄ Hospital).

The Notorious N.I.C.K. · #3

Έστειλα email στο καθηγητή μου και μου είπε να μη το κάνω γιατί δε βγάζω πάντα σωστά αποτελέσματα. Δεν είμαι Μαθηματικό, Πληροφορική σπουδάζω. Είχα φτάσει σε ένα σημείο όπου έπρεπε να υπολογίσω το $\frac{lnn}{e^n}$ και έκανα λοπιτάλ γιατί αλλιώς δεν ήξερα πως να το βγάλω!

#4

The Notorious N.I.C.K. έγραψε:...να μη το κάνω γιατί δε βγάζω πάντα σωστά αποτελέσματα. ..

οι μαθηματικές προτάσεις είτε είναι αληθείς, είτε είναι ψευδείς. Επομένως αν υπάρχει μια τέτοια περίπτωση -όπου ο κανόνας L' Hopital δεν δίνει σωστό αποτέλεσμα εφαρμοσμένος σε ακολουθίες- θα θέλαμε να την δούμε.
Να γίνω σαφέστερος: Αν μπορούμε να εφαρμόσουμε L'Hopital στο πηλίκο $\frac{f(x)}{g(x)}\,, \; x\in\mathbb{R}$ το ίδιο μπορούμε και στο πηλίκο $\frac{f(n)}{g(n)}\,, \; n\in\mathbb{N}$ .

The Notorious N.I.C.K. · #5

Οπότε κάνει λάθος ο καθηγητής... Ναι όμως έτσι στην εξεταστική του 1ου εξαμήνου (όπου υποτίθεται διδάχτηκε το θεώρημα) ο υπολογισμός των σειρών, ακολουθιών γίνεται πολύ εύκολος. Οπότε, γιατί παιδεύονται όλοι να τις λύσουν με θεωρήματα των ακολουθιών-σειρών και δεν εφαρμόζουν ένα λοπιτάλ;

#6

The Notorious N.I.C.K. έγραψε:Οπότε κάνει λάθος ο καθηγητής... Ναι όμως έτσι στην εξεταστική του 1ου εξαμήνου (όπου υποτίθεται διδάχτηκε το θεώρημα) ο υπολογισμός των σειρών, ακολουθιών γίνεται πολύ εύκολος. Οπότε, γιατί παιδεύονται όλοι να τις λύσουν με θεωρήματα των ακολουθιών-σειρών και δεν εφαρμόζουν ένα λοπιτάλ;

Αυτό εμπίπτει στην δεύτερη περίπτωση που ανέφερα: Μπορεί ο διδάσκων να περιορίσει την χρήση L' Hospital -για δικούς του, συνήθως εκπαιδευτικούς λόγους.

The Notorious N.I.C.K. · #7

Ε δε νομίζω να απαιτεί να μη γίνεται η χρήση του θεωρήματος. Τέλοσπαντων, προσωπικά όταν δυσκολεύομαι θα το χρησιμοποιώ. Ευχαριστώ πολύ.

#8

The Notorious N.I.C.K. έγραψε:Ε δε νομίζω να απαιτεί να μη γίνεται η χρήση του θεωρήματος. Τέλοσπαντων, προσωπικά όταν δυσκολεύομαι θα το χρησιμοποιώ. Ευχαριστώ πολύ.

Νομίζω ότι δεν μεταφέρεις σωστά τι ακριβώς είπε ο Καθηγητής.

Το πρόβλημα με την χρήση l' Hospital στην $\frac {a_n}{b_n}$ παραγωγίζοντας ως προς

είναι ότι η παράγωγος δεν έχει νόημα όταν η προς παραγώγιση ορίζεται (μόνο) σε μεμονωμένα σημεία, όπως εδώ. Για να παραγωγίσουμε πρέπει η συνάρτηση να ορίζεται τουλάχιστον σε ένα ανοικτό διάστημα γύρω από το

. Οπότε πρέπει οποσδήποτε πρώτα να επεκτείνεις σε όλο το $\mathbb R$ την ακολουθία που μελετάς, και μετά να παραγωγίσεις.

Ας μείνουμε στο παράδειγμα $\displaystyle { \frac {\ln n }{e^n}$ που αναφέρεσαι: Φαίνεται να θεωρείς ότι υπάρχει μόνο μία συνάρτηση στο $\mathbb R$ που να ταυτίζεται με την ακολουθία σου στα

, και συγκεκριμένα εδώ η $\frac {\ln x}{e^x}$ . Να όμως που υπάρχουν πολλές, όπως π.χ. η

$\displaystyle {\frac {2015 ^{x-[x]}\ln x }{e^x}}$ . Οπότε ποια από όλες παραγωγίζεις;

Αν δεν πεις με ΣΑΦΗΝΕΙΑ ποια παραγωγίζεις, τότε η λύση σου είναι λάθος, άσε που μπορεί να βρεις άλλη απάντηση, όπως πολύ σωστά σου είπε ο Καθηγητής.

Αν έβλεπα αυτά που γράφεις (τονίζω: χωρίς να δώσεις παραπάνω δικαιολόγιση για την επέκταση σε όλο το $\mathbb R$ ) σε γραπτό φοιτητού του Μαθηματικού, σίγουρα θα μηδένιζα το θέμα. Σε περίπτωση φοιτητού άλλου Τμήματος, θα ήμουν πιο διαλακτικός, αλλά το σωστό να λέγεται.

Ο Καθηγητής σου έχει δίκιο που ενίσταται.

#9

Mihalis_Lambrou έγραψε:
The Notorious N.I.C.K. έγραψε:Ε δε νομίζω να απαιτεί να μη γίνεται η χρήση του θεωρήματος. Τέλοσπαντων, προσωπικά όταν δυσκολεύομαι θα το χρησιμοποιώ. Ευχαριστώ πολύ.
Νομίζω ότι δεν μεταφέρεις σωστά τι ακριβώς είπε ο Καθηγητής.

Το πρόβλημα με την χρήση l' Hospital στην $\frac {a_n}{b_n}$ παραγωγίζοντας ως προς είναι ότι η παράγωγος δεν έχει νόημα όταν η προς παραγώγιση ορίζεται (μόνο) σε μεμονωμένα σημεία, όπως εδώ. Για να παραγωγίσουμε πρέπει η συνάρτηση να ορίζεται τουλάχιστον σε ένα ανοικτό διάστημα γύρω από το . Οπότε πρέπει οποσδήποτε πρώτα να επεκτείνεις σε όλο το $\mathbb R$ την ακολουθία που μελετάς, και μετά να παραγωγίσεις.

Ας μείνουμε στο παράδειγμα $\displaystyle { \frac {\ln n }{e^n}$ που αναφέρεσαι: Φαίνεται να θεωρείς ότι υπάρχει μόνο μία συνάρτηση στο $\mathbb R$ που να ταυτίζεται με την ακολουθία σου στα , και συγκεκριμένα εδώ η $\frac {\ln x}{e^x}$ . Να όμως που υπάρχουν πολλές, όπως π.χ. η

$\displaystyle {\frac {2015 ^{x-[x]}\ln x }{e^x}}$ . Οπότε ποια από όλες παραγωγίζεις;

Αν δεν πεις με ΣΑΦΗΝΕΙΑ ποια παραγωγίζεις, τότε η λύση σου είναι λάθος, άσε που μπορεί να βρεις άλλη απάντηση, όπως πολύ σωστά σου είπε ο Καθηγητής.

Αν έβλεπα αυτά που γράφεις (τονίζω: χωρίς να δώσεις παραπάνω δικαιολόγιση για την επέκταση σε όλο το $\mathbb R$ ) σε γραπτό φοιτητού του Μαθηματικού, σίγουρα θα μηδένιζα το θέμα. Σε περίπτωση φοιτητού άλλου Τμήματος, θα ήμουν πιο διαλακτικός, αλλά το σωστό να λέγεται.

Ο Καθηγητής σου έχει δίκιο που ενίσταται.

Μιχάλη

καταλαβαίνω το πνεύμα τις απάντησής σου, αλλά δεν νομίζω ότι χρειάζεται η περιπλοκότητα που παραθέτεις παραπάνω.
Όπως έγραψα και σε προηγούμενη δημοσίευση (παραπάνω):

"Να γίνω σαφέστερος: Αν μπορούμε να εφαρμόσουμε L'Hopital στο πηλίκο $\frac{f(x)}{g(x)}\,, \; x\in\mathbb{R}$ το ίδιο μπορούμε και στο πηλίκο $\frac{f(n)}{g(n)}\,, \; n\in\mathbb{N}$ ."

αρκεί να δηλώσουμε σε ποιο πηλίκο διαφορίσιμων συναρτήσεων θα εφαρμόσουμε τον κανόνα και να συμπεράνουμε το ανάλογο για το πηλίκο ακολουθιών.

#10

grigkost έγραψε: αρκεί να δηλώσουμε σε ποιο πηλίκο διαφορίσιμων συναρτήσεων θα εφαρμόσουμε τον κανόνα και να συμπεράνουμε το ανάλογο για το πηλίκο ακολουθιών.

Γρηγόρη, το ίδιο λέμε. Το πρόβλημα όμως παραμένει αυτό που τονίζω για την επιλογή των (διαφορίσιμων) συναρτήσεων f,g

.

Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Πες ότι θέλουμε να βρούμε το όριο $\displaystyle{\frac {100n+ \cos 2\pi n}{100n+ \cos 4\pi n}}$ .

Ένας τρόπος είναι να παρατηρήσω ότι $100n+ \cos 2\pi n = 100n + 1, \, 100n+ \cos 4\pi n =100n +1$ και το ζητούμενο όριο είναι $\frac {100n+ 1}{100n+ 1}= 1 \to 1$ .

Πάω τώρα να εφαρμόσω τα παραπάνω και επιλέγω ως διαφορίσιμες τις $f(x) = 100x+ \cos 2\pi x, \, g(x) =100x+ \cos 4\pi x}$ που βέβαια στα x=n

έχει τις ίδιες τιμές με την δοθείσα.

Ο κανόνας l' Hospital θα με οδηγούσε στο όριο στο άπειρο του $\displaystyle{\frac {f'(x)}{g'(x) }= \frac {100 + 2\pi \sin 2\pi x}{100 + 4\pi \sin 4\pi x}}$

Όμως το όριο αυτό δεν υπάρχει (π.χ. βάλε x=N

και μετά

για να το δεις). Το λοιπόν, τι συμπέρασμα βγάζουμε; Ότι δεν υπάρχει το όριο της $\displaystyle{\frac {100n+ \cos 2\pi n}{100n+ \cos 4\pi n}}$ ; Όχι βέβαια.

Απλά ήθελα να τονίσω τι υποθέτω ότι απάντησε, πολύ σωστά, ο Καθηγητής, αλλά δεν μεταφέρθηκε σωστά. Π.χ. γι' αυτό διαβάζουμε σε άρτια ελληνικά ότι

The Notorious N.I.C.K. έγραψε:Τέλοσπαντων, προσωπικά όταν δυσκολεύομαι θα το χρησιμοποιώ.

#11

Αν οι συναρτήσεις

,

είναι ορισμνες στους θετικούς αριθμούς το βέβαιον είναι ότι:
Αν $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = L \in R \cup \left\{ { \pm \infty } \right\}}$ τότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{} \frac{{f\left( n \right)}}{{g\left( n \right)}} = L}$ .
Και αυτό ανεξάρτητα από την μέθοδο που χρησιμοποιούμε για να βρούμε το πρώτο όριο.
Μαυρογιάννης

#12

nsmavrogiannis έγραψε:Αν οι συναρτήσεις , είναι ορισμνες στους θετικούς αριθμούς το βέβαιον είναι ότι:
Αν $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = L \in R \cup \left\{ { \pm \infty } \right\}}$ τότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{} \frac{{f\left( n \right)}}{{g\left( n \right)}} = L}$ .
Και αυτό ανεξάρτητα από την μέθοδο που χρησιμοποιούμε για να βρούμε το πρώτο όριο.
Μαυρογιάννης

Νίκο, κανένας δεν αντιλέγει.

Αυτά που επισημαίνω είναι

α) Δεν μπορούμε να παραγωγίσουμε ως προς

,

β) Αν επεκτέινουμε την δοθείσα ακολουθία από ορισμό στο $\mathbb N$ σε ολόκληρο το $\mathbb R$ τότε πρέπει να δηλώσουμε με σαφήνεια ποιες είναι οι παραγωγίσιμες f,g

με $\displaystyle{\frac {f(n)}{g(n)}= \frac {a_n}{b_n}$ διότι υπάρχουν πολλές,

γ) Για κάποιες επιλογές των f,g

ως άνω, το μεν όριο $\displaystyle{\lim_{x \to \infty }\frac {f(n)}{g(n)}}$ δεν υπάρχει αλλά το $\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty }\frac {f(n)}{g(n)}}$ υπάρχει. Στο παράδειγμα που έδωσα, η φυσική επιλογή των f,g

είναι αυτή που είναι προβληματική.

Ανδρέας Πούλος · #13

Εδώ που τα λέμε μαθαίνετε όρια σύγκλισης ακολουθιών για να αντιμετωπίζετε διάφορες και ποικίλες περιπτώσεις.
Υποθέτω ότι προσπαθεί ο καθηγητής σας να μην βάζει πολύ δύσκολα όρια ακολουθιών, αλλά κι εσείς "κάνετε τρίπλες".
Αν είχατε για θέμα π.χ. την εύρεση του $\lim_{\frac{e^{n}}{n!}}$ εδώ "πάει περίπατο" ο Μαρκήσιος De L' Hospital , λόγω του συμβόλου

.
Για το συγκεκριμένο όριο που ανέφερες, θα μπορούσε να δεχτεί την απάντησή σου.
Θεωρώ ότι ζήτησε και όρια που δεν προέκυπταν με τη χρήση του κανόνα L' Hospital.

Πάντως, το θέμα έχει ενδιαφέρον και παρακολούθησα τα επιχειρήματα των τριών εξαίρετων συνομιλητών σου.
Σχετίζεται και με το παιδαγωγικό ερώτημα τι θέλουμε να εξετάσουμε σε ένα διαγώνισμα και πόσο σαφείς είναι οι κανόνες της εξέτασης.

Ανδρέας Πούλος

#14

Μιχάλη δεν διαφωνούμε. Αυτό που λέω είναι ότι αν κατορθώσει κάποιος να επεκτείνει την ακολουθία σε συνάρτηση και μετά βρει κάποιο όριο τότε αυτό είναι και το όριο της ακολουθίας. Είτε χρησσιμοποιήσει τον κανόνα De l' Hospitan είτε όχι. Ο δε τελευταίος δεν είναι πανάκεια. Προσθέτω στο παράδειγμα του Ανδρέα δύο ακόμη: $\frac{2^{n}+3^{n}}{3^{n}+4^{n}}$ και $\frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n}$ .
Μαυρογιάννης

Υπολογισμός ορίου ακολουθίας

Υπολογισμός ορίου ακολουθίας

Re: Υπολογισμός ορίου ακολουθίας

Re: Υπολογισμός ορίου ακολουθίας

Re: Υπολογισμός ορίου ακολουθίας

Re: Υπολογισμός ορίου ακολουθίας

Re: Υπολογισμός ορίου ακολουθίας

Re: Υπολογισμός ορίου ακολουθίας

Re: Υπολογισμός ορίου ακολουθίας

Re: Υπολογισμός ορίου ακολουθίας

Re: Υπολογισμός ορίου ακολουθίας

Re: Υπολογισμός ορίου ακολουθίας

Re: Υπολογισμός ορίου ακολουθίας

Re: Υπολογισμός ορίου ακολουθίας

Re: Υπολογισμός ορίου ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση