Χριστ/τικη εύρεση συναρτήσεων με συγκλίνουσα ακ/θία παραγώγω

#1

Ας βρεθούν όλες οι απεριόριστα διαφορίσιμες συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για τις οποίες η ακολουθία $\{f^{(n)}\}_{n\in\mathbb{N}}$ των παραγώγων τους συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάποια συνάρτηση $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ .

(Από το ευαγγέλιο του Νεγρεπόντη και τούτη).

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ας βρεθούν όλες οι απεριόριστα διαφορίσιμες συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ για τις οποίες η ακολουθία $\{f^{(n)}\}_{n\in\mathbb{N}}$ των παραγώγων τους συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάποια συνάρτηση $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ .

(Από το ευαγγέλιο του Νεγρεπόντη και τούτη).

Δυστυχώς δεν μπορούμε να πούμε ότι αν $h_n \rightarrow h \,$ τότε $h_n^{\prime} \rightarrow h{\prime} \,$ , ακόμη και αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη. Αυτό δεν μας πτοεί! Αντί για παραγώγιση πάμε σε ολοκλήρωση, που το συμπέρασμα ισχύει για ομοιόμορφη σύγκλιση:

Αφού $f^{(n+1)} \rightarrow g \,$ , έχουμε $\int_0^xf^{(n+1)}(t)dt \rightarrow \int_0^xg(t)dt \,$ άρα $f^n(x) - f^n(0)\rightarrow \int_0^xg(t)dt \,$ . Αλλά το αριστερό μέλος τείνει στο $g(x) - g(0)\,$ , οπότε $g(x) - g(0)\, = \int_0^xg(t)dt \,$ . Η εύρεση τώρα της g είναι απλή ( g(x) = Ae^x

).

Με άλλα λόγια η f είναι οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής Ae^x + h

όπου
$h^{(n)} \rightarrow 0$ ομοιόμορφα. Τέτοιες h υπάρχουν πολλές, όπως
$\sin{x/127},\, x^{12} -47x^{3} + 23145x^2 + 7, \sin{x/127}+ x^{12} -47x^{3} + 23145x^2 + 7$ κ.λπ. Δεν ξέρω αν μπορούμε να τις περιλάβουμε όλες σε έναν κανόνα.

Φιλικά,

Μιχ'αλης Λάμπρου

Υ.Γ.

Επειδή έχω πάάάρα πολύ αργό δίκτυο, ας πω εδώ τις ευχές μου

ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ και ΚΑΛΗ ΠΡΩΤΟΧΡΟΝΙΑ σε όλους.

Επίσης, Χρόνια Πολλά στους Χρήστους, όπως τον Χ. Κυριαζή και Χ. Τσιφάκη.

Μ.Λ.

Χριστ/τικη εύρεση συναρτήσεων με συγκλίνουσα ακ/θία παραγώγω

Χριστ/τικη εύρεση συναρτήσεων με συγκλίνουσα ακ/θία παραγώγω

Re: Χριστ/τικη εύρεση συναρτήσεων με συγκλίνουσα ακ/θία παραγώγω

Μέλη σε σύνδεση