Borel και Lebesgue

[MANOLISMATHS]

Καλησπέρα και Καλή Χρονιά,

Πριν τελειώσει το πολυτεχνείο με φέρνει άλλη μια φορά στα βάθη της Ανάλυσης. Διαβάζω Θεωρία Μέτρου και Ολοκληρώσεως. Οι ορισμοί και οι ιδιότητες μου φαίνονται καθαροί τυπικά ως προς την σ-αλγεβρα του Borel και Lebesgue, αλλά δεν μπορώ να δω με μεγάλη διαίσθηση που εντοπίζεται η διαφορά αυτών των δύο εννοιών. Σίγουρα υπάρχει η κατασκευή ενός μη μετρήσιμου συνόλου με την κατασκευή του Vitali, αλλά μου φαίνεται λίγο οξύμωρο να πρέπει να δω μια βαθιά κατασκευή για να διακρίνω διαφορές.

Θα μπορούσατε αν θέλετε να μου προσφέρεται αυτό το Χριστουγεννιάτικο δώρο, λίγη διαίσθηση για το πότε αυτά τα δύο πράγματα διαφέρουν?Δεν μιλάω για τους ορισμούς, μιλάω λίγο για την ουσία, πως καταλαβαίνεται εσείς την μετρησιμότητα και την "Borel"-ότητα και πότε εν τέλει διαισθάνεται κανείς ότι χάνεται η μία και πότε η άλλη ιδιότητα

[Martingale]

Η Borel σ-άλγεβρα, για μένα, αντηχεί την τοπολογία του χώρου που βρίσκεσαι η οποία είναι στο παρασκήνιο. Η Lebesque σ-άλγεβρα από την άλλη, αντηχεί την απαίτηση . Αυτές οι δύο φαινομενικά άσχετες αφετηρίες, ταιριάζουν ωραία με το οτι η Lebesgue είναι η πλήρωση της Borel (συν φυσικά οτι είναι και επέκταση της). Εν κατακλείδι, την Borel φαντάσου την σαν την τοπολογία του χώρου, η οποία τροποποιείται με τον οικονομικότερο τρόπο ώστε να κάνει κανείς, ας πούμε, πιθανότητες. Με κάθε επιφύλαξη, έχω την εντύπωση οτι αυτό που θα χρησιμοποιήσει κανείς πιο πολύ είναι η Borel, για εφαρμογές, και μαζί της το μέτρο Lebesgue, και όχι η σ-άλγεβρα Lebesgue.