lim x_n^n (όριο ακολουθίας)

ipaper · #1

Έστω $x_1 = 2\;; \ x_{n+1}=\sqrt{x_n+\frac{1}{n}},\forall n \geq 1$ . Αποδείξτε ότι $\lim_{x\rightarrow +\infty} x_n=1$ και βρείτε το $\lim_{x\rightarrow +\infty} x_n^n$ .

#2

Ισχύει ότι $\displaystyle{x_n>\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1+\frac{4}{n}}\right)}$ για $n\geq1$ .

Πράγματι :

για n=1

είναι $\displaystyle{x_1=2>\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)}$ ,

έστω ότι για $n\geq1$ ισχύει $\displaystyle{x_n>\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1+\frac{4}{n}}\right)}$ , τότε

για n+1

θέλω $\displaystyle{x_{n+1}>\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1+\frac{4}{n+1}}\right)\Leftarrow \sqrt{x_n+\frac{1}{n}}>\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1+\frac{4}{n+1}}\right)\Leftarrow x_n+\frac{1}{n}>\left(\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1+\frac{4}{n+1}}\right)\right)^2\Leftarrow}$

$\displaystyle{x_n>\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1+\frac{4}{n+1}}\right)-\frac{1}{n(n+1)}}$ .

Όμως από επαγωγική υπόθεση αρκεί

$\displaystyle{\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1+\frac{4}{n}}\right)>\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1+\frac{4}{n+1}}\right)-\frac{1}{n(n+1)}\Leftarrow\sqrt{1+\frac{4}{n}}>\sqrt{1+\frac{4}{n+1}}-\frac{2}{n(n+1)}}$ , αλλά

$\displaystyle{\sqrt{1+\frac{4}{n}}>\sqrt{1+\frac{4}{n+1}}>\sqrt{1+\frac{4}{n+1}}-\frac{2}{n(n+1)}}$ και είμαστε κομπλεντάν.

Επιπλέον, προφανώς από το πάνω x_n>1

κι ακόμα

$\displaystyle{x_{n+1}<x_n\Leftarrow\sqrt{x_n+\frac{1}{n}}<x_n\Leftarrow x_n^2-x_n-\frac{1}{n}>0\stackrel{x_n>1}{\Leftarrow}x_n>\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1+\frac{4}{n}}\right)}$

που είδαμε ότι ισχύει, άρα η x_n

είναι γνησίως φθίνουσα και επειδή είναι και κάτω φραγμένη από το

, θα είναι $x_n\to\ell\geq1$ .

Παίρνοντας όρια στην αναδρομική προκύπτει ότι $\ell=1$ .

Επειδή τώρα είναι

$\displaystyle{\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1+\frac{4}{n}}\right)=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}+\mathcal O(n^{-3})\hspace{10ex}(1)}$ ,

και λόγω της αρχικής ανισότητας που αποδείξαμε, ψιλιαζόμαστε ότι κάτι τέτοιο θα παίζει και με την x_n

. Μας ενδιαφέρει μέχρι και ο δεύτερος όρος στο ανάπτυγμα για το δεύτερο όριο, άρα :

Θα δείξουμε λοιπόν ότι $\displaystyle{x_n<1+\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}$ , τουλάχιστον από ένα δείκτη και πέρα, (όπου το

επιλέχτηκε κουτουρού. Μπορεί και το

ή και το

να κάνει δε ξέρω..)

Επαγωγικά λοιπόν, για $n\geq2$ :

Για n=2

είναι $\displaystyle{x_2=\sqrt{5}<1+\frac{1}{2}+\frac{4}{2^2}=2.5}$ που ισχύει,

έστω ότι για $n\geq2$ είναι $\displaystyle{x_n<1+\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}$ , τότε

για n+1

θέλω $\displaystyle{x_{n+1}<1+\frac{1}{n+1}+\frac{4}{(n+1)^2}}$ και όπως πριν, από επαγωγική υπόθεση αρκεί

$\displaystyle{1+\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}<\left(1+\frac{1}{n+1}+\frac{4}{(n+1)^2}\right)^2-\frac{1}{n}\Leftarrow\frac{-3n^4-4n^3-3n^2+18n+4}{n^2(n+1)^4}<0}$ για $n\geq2$ που ισχύει κάνοντας μελέτη συνάρτησης.

Δείξαμε ότι $\displaystyle{\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{1+\frac{4}{n}}\right)<x_n<1+\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}$ , και από την (1)

, έπεται ότι

$\displaystyle{x_n=1+\frac{1}{n}+\mathcal O(n^{-2})}$ , άρα και

$\displaystyle{x_n^n=\exp\left(n\ln\left(1+\frac{1}{n}+\mathcal O(n^{-2})\right)\right)=\exp\left(1+\mathcal O(n^{-1})\right)\to e}$ .

lim x_n^n (όριο ακολουθίας)

lim x_n^n (όριο ακολουθίας)

Re: lim x_n^n (όριο ακολουθίας)

Μέλη σε σύνδεση