Μέγιστη τιμή

irakleios · #1

Έστω $f:[a,b]\longrightarrow[{0,\infty})$ συνεχής και $M:=\max{f(x)}$ . Nα αποδειχθεί ότι:
$\displaystyle{\lim_{p\to\infty}\Bigl({\int_{a}^{b}f^p(x)\,dx}\Bigr)^\frac{1}{p}=M\,.}$

Μάλλον θέμα ρουτίνας, από κάποιο πανεπιστήμιο της Ιταλίας, αν το έχουμε ξανασυζητήσει να διαγραφεί.

Ιστοσελίδα · #2

Αν

για κάθε $x\in [a,b]$ τότε η ισότητα προφανώς ισχύει.

Αν η

δεν είναι η μηδενική συνάρτηση, τότε M>0 .

Υπάρχει $x_0\in [a,b]$ τέτοιο, ώστε f(x_0)=M.

Αν $x_0\in (a,b)$ τότε για κάθε t ,

με

ισχύει ότι:

Υπάρχει $\epsilon >0 ,$ για κάθε $x\in (x_0-\epsilon , x_0+\epsilon )\subset [a,b] ,$ είναι f(x)>t .

Επομένως, για $p\geq 1$ έχουμε:

$\displaystyle (2\epsilon )^{\frac{1}{p}}t = \left(\int_{x_0-\epsilon}^{x_0-\epsilon}t^p\;dx\right)^{\frac{1}{p}} < \left(\int_{x_0-\epsilon}^{x_0-\epsilon}f^{p}(x)\;dx\right)^{\frac{1}{p}} \leq \left(\int_{a}^{b}f^{p}(x)\;dx\right)^{\frac{1}{p}} \leq$

$\displaystyle \left(\int_{a}^{b}M^{p}\;dx\right)^{\frac{1}{p}} = M(b-a)^{\frac{1}{p}}$

Αν x_0=a

ή

όμοια έχουμε ότι: $\displaystyle \epsilon ^{\frac{1}{p}}t \leq \left(\int_{a}^{b}f^{p}(x)\;dx\right)^{\frac{1}{p}} \leq M(b-a)^{\frac{1}{p}}$

Άρα για κάθε πραγματικό

με

υπάρχει $\epsilon >0 ,$ ώστε: $\displaystyle \epsilon ^{\frac{1}{p}}t \leq \left(\int_{a}^{b}f^{p}(x)\;dx\right)^{\frac{1}{p}} \leq M(b-a)^{\frac{1}{p}}$

Παίρνοντας όρια για $p\to\infty$ και $t\to M$ έχουμε $\displaystyle \lim_{p\to\infty}\left(\int_{a}^{b}f^{p}(x)\;dx\right)^{\frac{1}{p}} = M .$

Το προηγούμενο μας λέει ότι:

Για τους χώρους με νόρμα $\left(\mathcal{C}[a,b],\|\cdot\|_{p}\right)}$ και $\left(\mathcal{C}[a,b],\|\cdot\|_{\infty}\right)}$ ισχύει $\displaystyle \lim_{p\to\infty}\|f\|_p = \|f\|_{\infty} .$

Μέγιστη τιμή

Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση