Άθροισμα τμημάτων σε ισόπλευρο

#1

: Άθροισμα τμημάτων σε ισόπλευρο.png (9.05 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC

πλευράς

και έστω

ένα εσωτερικό του σημείο. Αν D, E, F

είναι οι

προβολές του

στις πλευρές BC, AC, AB

αντίστοιχα, να υπολογίσετε το άθροισμα BD+CE+AF.

48 ώρες μόνο για μαθητές!

#2

Ανοιχτή σε όλους.

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 17, 2023 10:32 am
Άθροισμα τμημάτων σε ισόπλευρο.png
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς και έστω ένα εσωτερικό του σημείο. Αν είναι οι

προβολές του στις πλευρές αντίστοιχα, να υπολογίσετε το άθροισμα

Χαιρετίσματα από Καστελλόριζο.

Είναι γνωστό ότι ισχύει $\displaystyle{BD^2+CE^2+AF ^2= CD^2+AE^2+BF ^2 }$ . H απόδειξη χρησιμοποιεί το Πυθαγόρειο για να δείξει ότι κάθε πλευρά ισούται με AP^2 + BP^2 + CP^2 -(PD^2 + PE^2 + PF^2)

.

Άρα έχουμε $\displaystyle{BD^2+CE^2+AF ^2= (6-BD)^2 +(6-CE)^2+(6-AF )^2 }$ . Ανοίγοντας τις παρενθέσεις και απλοποιώντας τους κοινούς όρους, καταλήγουμε στην BD+CE+AF =9

(η ημιπερίμετρος).

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 17, 2023 10:32 am
Άθροισμα τμημάτων σε ισόπλευρο.png
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς και έστω ένα εσωτερικό του σημείο. Αν είναι οι

προβολές του στις πλευρές αντίστοιχα, να υπολογίσετε το άθροισμα

48 ώρες μόνο για μαθητές!

: Αθροισμα τμημάτων σε ισόπλευρο.png (27.68 KiB) Προβλήθηκε 796 φορές

Οι τομές των καθέτων στα A,B,C

επί των

αντίστοιχα τεμνόμενες σχηματίζουν προφανώς το ισόπλευρο τρίγωνο $\vartriangle KLM$ (όπως φαίνεται στο σχήμα) και τα τμήματα FA,BD,CE

είναι ίσα αντίστοιχα με τις αποστάσεις P{A}',P{B}',P{C}'

του

από τις πλευρές MK,KL,LM

αντίστοιχα του $\vartriangle KLM$ (απέναντι πλευρές ορθογωνίων)
Προφανώς $\vartriangle BAK=\vartriangle ACM$ (ορθογώνια με μία κάθετη πλευρά (από το αρχικό ισόπλευρο τρίγωνο) και μια (δύο) οξείες γωνίες)

Αν K{K}'

είναι το ύψος του $\vartriangle KLM$ τότε ${{30}^{0}}\Rightarrow AK=\dfrac{KB}{2}=\dfrac{AM}{2}\overset{AC\parallel KK'}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{K{K}'}{AC}=\dfrac{MK}{MA}=\dfrac{3}{2}\overset{AC=6}{\mathop{\Rightarrow }}\,K{K}'=9$
Έτσι $AF+BD+CE=P{A}'+P{B}'+P{C}'\overset{\gamma \nu \omega \sigma \tau \eta \,\,\pi \rho o\tau \alpha \sigma \eta }{\mathop{=}}\,K{K}'=9$ και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί

Άθροισμα τμημάτων σε ισόπλευρο

Άθροισμα τμημάτων σε ισόπλευρο

Re: Άθροισμα τμημάτων σε ισόπλευρο

Re: Άθροισμα τμημάτων σε ισόπλευρο

Re: Άθροισμα τμημάτων σε ισόπλευρο

Μέλη σε σύνδεση