Γεωμετρία σταθερών σημείων
Συντονιστής: polysot
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13332
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Γεωμετρία σταθερών σημείων
προβολές του στις Να δείξετε ότι η κάθετη από το στην διέρχεται από σταθερό σημείο.
48 ώρες μόνο για μαθητές!
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15777
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Γεωμετρία σταθερών σημείων
Συμπληρώνουμε το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ώστε να το βλέπουμε ως μέρος του τετραγώνου . Υπόψη ότι και τα είναι και αυτά τετράγωνα.george visvikis έγραψε: ↑Δευ Οκτ 02, 2023 11:16 amΓεωμετρία σταθερών σημείων.png
Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ένα τυχόν σημείο της υποτείνουσας και οι
προβολές του στις Να δείξετε ότι η κάθετη από το στην διέρχεται από σταθερό σημείο.
Θα δείξουμε ότι το ζητούμενο σταθερό σημείο είναι το .
Φέρνουμε την και την προεκτείνoυμε μέχρι να τμήσει την στο . Θα αποδείξουμε ότι , από όπου έπεται το ζητούμενο (αφού η κάθετος αυτή από τo διέρχεραι πάντα από το ).
Εύκολα βλέπουμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα (οι κάθετες πλευρές τους είναι αντίστοιχα ίσες). 'Επεται και, ως κατά κορυφήν , οι δύο γωνίες είναι ίσες. Άρα οι τρίτες γωνίες των τριγώνων είναι ίσες. Δηλαδή , όπως θέλαμε.
- Συνημμένα
-
- stathero simeio.png (9.37 KiB) Προβλήθηκε 831 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 1423
- Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm
Re: Γεωμετρία σταθερών σημείων
Ονομάζω τη προβολή του στην και .
Εφόσον η είναι ύψος και διάμεσος του τριγώνου , έπεται ότι αυτό είναι ισοσκελές.
Δηλαδή το σημείο είναι το συμμετρικό του ως προς τη , αφού το κινείται πάνω σ΄ αυτή.
Re: Γεωμετρία σταθερών σημείων
Μια μετρική λύση .george visvikis έγραψε: ↑Δευ Οκτ 02, 2023 11:16 amΓεωμετρία σταθερών σημείων.png
Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ένα τυχόν σημείο της υποτείνουσας και οι
προβολές του στις Να δείξετε ότι η κάθετη από το στην διέρχεται από σταθερό σημείο.
48 ώρες μόνο για μαθητές!
Θέτω . Υποθέτω ( χωρίς βλάβη της γενικότητας ) ότι η κάθετη πλευρά .
Έχω λοιπόν, . Έστω τώρα , τα σημεία τομής της με την ευθεία και την παράλληλό της από το .
Ας είναι Από την ομοιότητα των ,,
Η προηγούμενη σχέση μετασχηματίζεται και λόγω της σε: . Λύνω ως προς κι έχω :
Από την άλλη μεριά και λόγω της ομοιότητας των ,
που λόγω της δίδει : δηλαδή το είναι τετράγωνο.
Re: Γεωμετρία σταθερών σημείων
, η οποία για κάθε : ,
διέρχεται προφανώς από το : .
Re: Γεωμετρία σταθερών σημείων
Στο σχήμα που ακολουθεί το Q είναι η τομή του SP με τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC.
Όμως αφού AQ κάθετη στην PQ (βαίνει σε ημικύκλιο), τότε τα A, Q, D, P, E, O_1 είναι ομοκυκλικά.
Για να διέρχεται η PT από το σταθερό σημείο S, αρκεί οι ED, AQ να είναι παράλληλες.
Τότε το T θα ανήκει στην PQ, άρα και στην SP, συνεπώς θα είναι S, P, T συνευθειακά.
Έχουμε , αφού τα A, Q είναι τα σημεία τομής των δύο κύκλων. (1)
Όμως και
Άρα ισοσκελές και αφού Ο_2 το μέσο του ED τότε (2)
Από (1) και (2) προκύπτει ότι ED, AQ παράλληλες, άρα η PT διέρχεται από το σταθερό σημείο S.
Όμως αφού AQ κάθετη στην PQ (βαίνει σε ημικύκλιο), τότε τα A, Q, D, P, E, O_1 είναι ομοκυκλικά.
Για να διέρχεται η PT από το σταθερό σημείο S, αρκεί οι ED, AQ να είναι παράλληλες.
Τότε το T θα ανήκει στην PQ, άρα και στην SP, συνεπώς θα είναι S, P, T συνευθειακά.
Έχουμε , αφού τα A, Q είναι τα σημεία τομής των δύο κύκλων. (1)
Όμως και
Άρα ισοσκελές και αφού Ο_2 το μέσο του ED τότε (2)
Από (1) και (2) προκύπτει ότι ED, AQ παράλληλες, άρα η PT διέρχεται από το σταθερό σημείο S.
- Συνημμένα
-
- geogebra-export.png (537.93 KiB) Προβλήθηκε 741 φορές
«Ο μορφωμένος διαφέρει από τον αμόρφωτο, όπως ο ζωντανός από τον νεκρό.» Αριστοτέλης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13332
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Γεωμετρία σταθερών σημείων
Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις. Η δική μου μοιάζει περισσότερο με του Φάνη.
Έστω το μέσο της υποτείνουσας και η προβολή του στην Θα δείξω ότι το σημείο τομής των είναι το ζητούμενο σταθερό σημείο. Τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα κι επειδή μέσο των θα είναι
Επομένως το είναι μέσο του δηλαδή το είναι η σταθερή τέταρτη κορυφή του τετραγώνου
Έστω το μέσο της υποτείνουσας και η προβολή του στην Θα δείξω ότι το σημείο τομής των είναι το ζητούμενο σταθερό σημείο. Τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα κι επειδή μέσο των θα είναι
Επομένως το είναι μέσο του δηλαδή το είναι η σταθερή τέταρτη κορυφή του τετραγώνου
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες