Κρατάει τον λόγο του!

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλή Σαρακοστή σε όλους!

: 6-3 Κρατάει τον λόγο του.png (105.53 KiB) Προβλήθηκε 1254 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

. Το $P \in AB$ ώστε $\dfrac{BP}{AB}=m$ και το $Z \in AC$ ώστε $\dfrac{AZ}{ZC}=n$ , ενώ το

διατρέχει την πλευρά

.

Να δείξετε ότι ο λόγος των εμβαδών $\dfrac{\left ( BEP \right )}{(BEC)}$ ...κρατιέται σταθερός ( να εκφραστεί από τα σταθερά )

Ας δώσουμε ώρες στους μαθητές. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 06, 2022 2:07 pm
Καλή Σαρακοστή σε όλους!
6-3 Κρατάει τον λόγο του.png
Δίνεται τρίγωνο . Το $P \in AB$ ώστε $\dfrac{BP}{AB}=m$ και το $Z \in AC$ ώστε $\dfrac{AZ}{ZC}=n$ , ενώ το διατρέχει την πλευρά .

Να δείξετε ότι ο λόγος των εμβαδών $\dfrac{\left ( BEP \right )}{(BEC)}$ ...κρατιέται σταθερός ( να εκφραστεί από τα σταθερά )

Ας δώσουμε ώρες στους μαθητές. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Από $\dfrac{BP}{AB} =m \Rightarrow \dfrac{AP}{PB}= \dfrac{1-m}{m}$ και με CEVA $\dfrac{CZ}{ZA}. \dfrac{AP}{AB}=\dfrac{CN}{NB} \Rightarrow \dfrac{CN}{NB}= \dfrac{1-m}{mn}$

Από Van Aubel $\dfrac{CD}{DP}= \dfrac{CN}{NB} + \dfrac{CZ}{ZA}= \dfrac{1-m}{mn}+ \dfrac{1}{n}= \dfrac{1}{mn}$

Άρα $\dfrac{(BEP)}{(BEC)}= \dfrac{PD}{DC} =mn$

: κρατάει το λόγο του.png (18.82 KiB) Προβλήθηκε 1180 φορές

STOPJOHN · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 06, 2022 2:07 pm
Καλή Σαρακοστή σε όλους!
6-3 Κρατάει τον λόγο του.png
Δίνεται τρίγωνο . Το $P \in AB$ ώστε $\dfrac{BP}{AB}=m$ και το $Z \in AC$ ώστε $\dfrac{AZ}{ZC}=n$ , ενώ το διατρέχει την πλευρά .

Να δείξετε ότι ο λόγος των εμβαδών $\dfrac{\left ( BEP \right )}{(BEC)}$ ...κρατιέται σταθερός ( να εκφραστεί από τα σταθερά )

Ας δώσουμε ώρες στους μαθητές. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Εστω 'οτι $PT\perp BZ,A\Theta \perp BZ,$ ,είναι

$BZ=mc,AZ=nb,ZC=\dfrac{b}{n+1}, \dfrac{(BEP)}{(BEC)}=\dfrac{PT}{LC},(1), \dfrac{PT}{A\Theta }=\dfrac{mc}{c}=m,(*), \dfrac{CL}{A\Theta }=\dfrac{1}{n},(**), (1),(*),(**)\Rightarrow \dfrac{(BEP)}{(BEC)}=mn$

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλό βράδυ. Να ευχαριστήσω τους Μιχάλη και Γιάννη για τις λύσεις τους!
Μια ακόμη προσέγγιση

: 20-3 κρατάει το λόγο του.png (99.47 KiB) Προβλήθηκε 1087 φορές

Έχουμε $\dfrac{AZ}{ZC}=\dfrac{\left ( BAZ \right )}{\left ( BZC \right )}=\dfrac{ABsinx}{BCsiny}\Rightarrow \dfrac{sinx}{siny}=\dfrac{AZ\cdot BC}{AB\cdot ZC}$ οπότε

$\dfrac{\left ( BEP \right )}{\left ( BEC \right )}=\dfrac{BPsinx}{BCsiny}=\dfrac{BP\cdot AZ\cdot BC}{BC\cdot AB\cdot ZC}=\dfrac{BP}{AB}\cdot \dfrac{AZ}{ZC}$ άρα $\dfrac{\left ( BEP \right )}{\left ( BEC \right )}=mn$ .

Φιλικά, Γιώργος.

#5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 06, 2022 2:07 pm
Καλή Σαρακοστή σε όλους!
6-3 Κρατάει τον λόγο του.png
Δίνεται τρίγωνο . Το $P \in AB$ ώστε $\dfrac{BP}{AB}=m$ και το $Z \in AC$ ώστε $\dfrac{AZ}{ZC}=n$ , ενώ το διατρέχει την πλευρά .

Να δείξετε ότι ο λόγος των εμβαδών $\dfrac{\left ( BEP \right )}{(BEC)}$ ...κρατιέται σταθερός ( να εκφραστεί από τα σταθερά )

Ας δώσουμε ώρες στους μαθητές. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

: Κρατάει το λόγο του.Μ.png (11.42 KiB) Προβλήθηκε 1056 φορές

$\displaystyle \frac{{(BEP)}}{{(ABC)}} = \frac{{(BEP)}}{{(BPZ)}} \cdot \frac{{(BPZ)}}{{(ABZ)}} \cdot \frac{{(ABZ)}}{{(ABC)}} = \frac{{BE}}{{BZ}} \cdot \frac{{BP}}{{BA}} \cdot \frac{{AZ}}{{AC}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{(BEP)}}{{(ABC)}} = \frac{{BE \cdot mn}}{{BZ \cdot (n + 1)}}}$ (1)

$\displaystyle \frac{{(BEC)}}{{(ABC)}} = \frac{{(BEC)}}{{(BZC)}} \cdot \frac{{(BZC)}}{{(ABC)}} = \frac{{BE}}{{BZ}} \cdot \frac{{ZC}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{(BEC)}}{{(ABC)}} = \frac{{BE}}{{BZ(n + 1)}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{\frac{{(BEP)}}{{(BEC)}}=mn}$

nickchalkida · #6

Θα θεωρήσω γνωστό ότι ό λόγος δύο οποιονδήποτε τριγώνων με κοινή βάση επί της

και άλλες κορυφές τα

,

είναι ίσος με $\displaystyle {AZ \over AC}$ . Για παράδειγμα $\displaystyle {(AFG) \over (FGC)} = {AZ \over AC}$ , άρα

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & {(ABE) \over (BEC)} = m \cr & {(BEP) \over (ABE)} = n \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow {(BEP) \over (BEC)} = m \cdot n }$

Κρατάει τον λόγο του!

Κρατάει τον λόγο του!

Re: Κρατάει τον λόγο του!

Re: Κρατάει τον λόγο του!

Re: Κρατάει τον λόγο του!

Re: Κρατάει τον λόγο του!

Re: Κρατάει τον λόγο του!

Μέλη σε σύνδεση