Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

#1

ΑΣΚΗΣΗ 1: (Β Γυμνασίου) Να απλοποιηθεί η παράσταση:

$\displaystyle{A=-\{-[-2(a+b-c)-(c-b)]+[-3(a-c)+(-b+c)]-3c\}}$

raf616 · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1: (Β Γυμνασίου) Να απλοποιηθεί η παράσταση:

$\displaystyle{A=-\{-[-2(a+b-c)-(c-b)]+[-3(a-c)+(-b+c)]-3c\}}$

Ωραία κίνηση κ. Δημήτρη...(αν κατάλαβα καλά θα γίνει συλλογή)

$\displaystyle{A = -\{-[-2(a+b-c)-(c-b)]+[-3(a-c)+(-b+c)]-3c\} = -[-(2a - 2b + 2c - c + b) + (-3a + 3c - b + c) - 3c] = }$

= -(2a + 2b - 2c + c - b - 3a + 3c - b + c - 3c) = -(-a) = a

#3

Nαί Ραφάήλ, θα συνεχίσουμε με μια σειρά ασκήσεων μόνο για μαθητές Γυμνασίου, οι οποίες δεν θα έχουν την δυσκολία των διαγωνιστικών μαθηματικών, με στόχο να ασχοληθούν περισσότεροι μαθητές λύνοντας ασκήσεις και να γίνουν ενεργά μέλη του mathematica ώστε να περνούν δημιουργικά τον ελεύθερο χρόνο τους.

ΑΣΚΗΣΗ 2:(Γ Γυμνασίου) Να αποδειχθεί ότι:

$\displaystyle{(a^n +2)^2 -(a^n -3)^2 -10(a^n -1)=5}$

raf616 · #4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Nαί Ραφάήλ, θα συνεχίσουμε με μια σειρά ασκήσεων μόνο για μαθητές Γυμνασίου, οι οποίες δεν θα έχουν την δυσκολία των διαγωνιστικών μαθηματικών, με στόχο να ασχοληθούν περισσότεροι μαθητές λύνοντας ασκήσεις και να γίνουν ενεργά μέλη του mathematica ώστε να περνούν δημιουργικά τον ελεύθερο χρόνο τους.

ΑΣΚΗΣΗ 2:(Γ Γυμνασίου) Να αποδειχθεί ότι:

$\displaystyle{(a^n +2)^2 -(a^n -3)^2 -10(a^n -1)=5}$

Είναι:

$\displaystyle{(a^n +2)^2 -(a^n -3)^2 -10(a^n -1) = a^{2n} + 4a^n + 4 - a^{2n} + 6a^n - 9 - 10a^n + 10 = 10 - 9 + 4 = 5}$

Παναγιώτης Χ. · #5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Nαί Ραφάήλ, θα συνεχίσουμε με μια σειρά ασκήσεων μόνο για μαθητές Γυμνασίου, οι οποίες δεν θα έχουν την δυσκολία των διαγωνιστικών μαθηματικών, με στόχο να ασχοληθούν περισσότεροι μαθητές λύνοντας ασκήσεις και να γίνουν ενεργά μέλη του mathematica ώστε να περνούν δημιουργικά τον ελεύθερο χρόνο τους.

ΑΣΚΗΣΗ 2:(Γ Γυμνασίου) Να αποδειχθεί ότι:

$\displaystyle{(a^n +2)^2 -(a^n -3)^2 -10(a^n -1)=5}$

Θέτουμε

οπότε έχουμε:
(x+2)^2 - (x-3)^2 - 10(x-1)= x^2 + 4x + 4 - (x^2 - 6x + 9) -10x + 10 = x^2 + 4x + 4 - x^2 + 6x - 9 -10x + 10 = 5

#6

ΑΣΚΗΣΗ 3: (Β Γυμνασίου) Να γραφεί ως μια δύναμη η παράσταση:

$\displaystyle{A=(-0,25)^{15}.[(-2)^3]^{13}}$

KARKAR · #7

ΑΣΚΗΣΗ 4 . Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου

.

: Συντεταγμένες.png (7.07 KiB) Προβλήθηκε 4005 φορές

Παναγιώτης Χ. · #8

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 3: (Β Γυμνασίου) Να γραφεί ως μια δύναμη η παράσταση:

$\displaystyle{A=(-0,25)^{15}.[(-2)^3]^{13}}$

$A= (- \frac{1}{4})^{15} . (-2)^{39} = -(\frac{1}{2^2})^{15} . (-(2^{39})) = (2^{-2})^{15} . 2^{39} = 2^{-30} . 2^{39} = 2^{9}$

raf616 · #9

KARKAR έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 4 . Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου .
Το συνημμένο Συντεταγμένες.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

: Συντεταγμένες.png (20.11 KiB) Προβλήθηκε 3929 φορές

Στην αρχή βρήκα κάτι πιο σύνθετο αλλά μετά απλούστευσε το θέμα...

Είναι $\widehat{ASB} = 90^{o}$ ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο. Άρα $\widehat{SBA} = 60^{o}$

Είναι OB = OS

ως ακτίνες του ίδιου κύκλου και άρα το $\triangle{ΟSB}$ είναι ισόπλευρο.

Άρα, όταν φέρουμε την απόσταση

θα είναι και διάμεσος και άρα OK = 1

. Επομένως, K(1, 0)

Τώρα έχουμε δύο τρόπους για να βρούμε την

. Το γεωμετρικό ή τον τριγωνομετρικό...

Ας προτιμήσουμε τον γεωμετρικό...

Με Π.Θ στο $\triangle{OKS}$ θα έχουμε:

$(SK)^2 + (OK)^2 = (SO)^2 \Leftrightarrow (SK)^2 = 3 \Leftrightarrow SK = \sqrt{3}$

Άρα, $M(0, \sqrt{3})$

Επομένως, $S(1, \sqrt{3})$ και το ζητούμενο βρέθηκε.

Υ.Γ Άμα θέλετε μπορώ να βάλω και τον άλλο τρόπο για να έχουμε ποικιλία(δε χρησιμοποιώ την έκφραση "για λόγους μαθηματικού πλουραλισμού" γιατί θα φανεί κλεμμένο

)

#10

ΑΣΚΗΣΗ 5:(Γ Γυμνασίου). Αν $\displaystyle{a+b=1}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{a^3 (b+1)-b^3 (a+1)=a-b}$

raf616 · #11

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 5:(Γ Γυμνασίου). Αν $\displaystyle{a+b=1}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{a^3 (b+1)-b^3 (a+1)=a-b}$

Είναι:

$\displaystyle{a^3(b+1)-b^3 (a+1) = a^3b + a^3 - ab^3 - b^3 = a^3 - b^3 + a^3b - ab^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) + ab(a^2 - b^2) =}$

$\displaystyle{= (a - b)(a^2 + ab + b^2) + ab(a - b)(a + b) = (a - b)(a^2 + ab + b^2) + ab(a - b) = (a - b)(a^2 + 2ab + b^2) = (a - b)[(a + b)^2] = a - b}$

Έτσι, το ζητούμενο εδείχθη.

KARKAR · #12

ΑΣΚΗΣΗ 6

: Άσκηση 6.png (4.91 KiB) Προβλήθηκε 3894 φορές

Τα ημικύκλια του σχήματος είναι ομόκεντρα και από το μέσο

του μικρού φέραμε MN//AB

.

Αν είναι MN:AB=3:2

, βρείτε το λόγο $R:\rho$ των ακτίνων των δύο ημικυκλίων .

#13

ΑΣΚΗΣΗ 7: (Γ Γυμνασίου). Αν $\displaystyle{a-b=2}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{a(a+3)+b(b-3)=10+2ab}$

KARKAR · #14

ΑΣΚΗΣΗ 8

: Τριπλάσιο εμβαδόν.png (6.04 KiB) Προβλήθηκε 3844 φορές

Τα έγχρωμα τετράπλευρα του σχήματος είναι τετράγωνα . Αξιοποιώντας και τη δοθείσα γωνία ,

δείξτε ότι το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου , είναι τριπλάσιο από εκείνο του μικρού .

raf616 · #15

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 7: (Γ Γυμνασίου). Αν $\displaystyle{a-b=2}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{a(a+3)+b(b-3)=10+2ab}$

Από το 1ο μέλος παίρνουμε:

$\displaystyle{a(a + 3) + b(b - 3) = a^2 + 3a + b^2 - 3b = a^2 + b^2 + 3a - 3b = (a - b)^2 + 2ab + 3(a - b) = 2^2 + 3 \cdot 2 + 2ab = 4 + 6 + 2ab = 10 + 2ab}$

KARKAR · #16

ΑΣΚΗΣΗ 9

: Εύρεση γωνίας.png (5.79 KiB) Προβλήθηκε 3828 φορές

Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ισοσκελές (AB=AC)

και τα

κόκκινα τμήματα είναι ίσα . Υπολογίστε το μέτρο της $\hat{A}$ .

raf616 · #17

KARKAR έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 8
Το συνημμένο Τριπλάσιο εμβαδόν.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Τα έγχρωμα τετράπλευρα του σχήματος είναι τετράγωνα . Αξιοποιώντας και τη δοθείσα γωνία ,

δείξτε ότι το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου , είναι τριπλάσιο από εκείνο του μικρού .

: Τετράγωνα.png (14.53 KiB) Προβλήθηκε 3826 φορές

Φέρνω την $\displaystyle{DB}$ . Έστω $\displaystyle{a}$ η πλευρά του μικρού και $\displaystyle{b}$ η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου.

Στα τετράγωνα οι διαγώνιοι διχοτομούν τις γωνίες τους και άρα $\displaystyle{\widehat{ZDB} = 90^{o}$ .

Με Π.Θ στα τρίγωνα $\displaystyle{ADB}$ και $\displaystyle{BZE}$ παίρνουμε αντίστοιχα:

$\boxed{a^2 = \dfrac{DB^2}{2}}:(1)$

$\boxed{b^2 = \dfrac{ZB^2}{2}}:(2)$

Και τώρα λίγο τριγωνομετρία...

Είναι:

$\displaystyle{tan30^{o} = \frac{DB}{ZB} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{DB}{ZB} \Leftrightarrow ZB = \frac{3DB}{\sqrt{3}}}$

Έτσι, η (2)

γίνεται:

$b^2 = \dfrac{ZB^2}{2} \Leftrightarrow b^2 = \dfrac{\dfrac{(3DB)^2}{(\sqrt{3})^2}}{2} = \dfrac{3DB^2}{2} = 3 \cdot \dfrac{DB^2}{2} \mathop = \limits^{(1)} 3a^2$

Άρα, το ζητούμενο απεδείχθη.

hlkampel · #18

ΑΣΚΗΣΗ 10 (B' Γυμνασίου)
Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle\left( {\frac{{\mu - 2}}{2} - \frac{{4 - \mu }}{6} + 3} \right)x = {\mu ^4} + {\mu ^3} - {\mu ^2} + \mu - 2$ με άγνωστο

.

Να βρεθεί η τιμή του $\mu$ ώστε η εξίσωση να είναι ταυτότητα.

raf616 · #19

hlkampel έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 10 (B' Γυμνασίου)
Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle\left( {\frac{{\mu - 2}}{2} - \frac{{4 - \mu }}{6} + 3} \right)x = {\mu ^4} + {\mu ^3} - {\mu ^2} + \mu - 2$ με άγνωστο .

Να βρεθεί η τιμή του $\mu$ ώστε η εξίσωση να είναι ταυτότητα.

Θα πρέπει να ισχύει $\displaystyle{0x = 0}$ . Άρα:

$\displaystyle{\frac{m - 2}{2} - \frac{4 - m}{6} + 3 = 0 \Leftrightarrow 3(m - 2) - (4 - m) + 18 = 0 \Leftrightarrow 3m - 6 - 4 + m + 18 = 0 \Leftrightarrow 4m = -8 \Leftrightarrow m = -2}$

Αντικαθιστώντας και στο β' μέλος θα πάρουμε

. Άρα, η μόνη λύση είναι m = -2

stergios7 · #20

KARKAR έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9
Εύρεση γωνίας.png
Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ισοσκελές και τα

κόκκινα τμήματα είναι ίσα . Υπολογίστε το μέτρο της $\hat{A}$ .

Άν $\displaystyle{\hat{B}=\hat{C}=x}$ . Τότε $\displaystyle{\hat{A}=\widehat{ATS}=180-2x}$ και $\displaystyle{\widehat{TSB}=360-4x}$ ως εξωτερίκη.
Άρα $\displaystyle{x=360-4x+180-2x}$
$\displaystyle{x=540-6x}$
$\displaystyle{7x=540}$
$\displaystyle{x=\frac{540}{7}}$
Άρα $\displaystyle{\hat{A}=180-2.\frac{540}{7}=180-\frac{1080}{7}=\frac{1260-1080}{7}=\frac{180}{7}}$

Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Μέλη σε σύνδεση