Εποπτεία τριγώνου ( Β' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

KARKAR · #1

Έστω τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με (AB)= 4 , (BC) = 5 , (AC)= 6

. Επί των πλευρών του AB , AC

παίρνω σημεία

S , T

αντίστοιχα ώστε : $\displaystyle \frac{AS}{AB}=\frac{1}{4}$ και $\displaystyle \frac{AT}{AC}=\frac{2}{3}$ . Το

προεκτεινόμενο τέμνει την ευθεία

στο

.

1) Βρείτε το λόγο : $\displaystyle \frac{TP}{TS}$

2) Βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου TCP

. ( Λήξη προθεσμίας : 10-4-2012

)

Γιώργος Απόκης · #2

Eπαναφορά

mathlete23 · #3

α) Θα εφαρμόσουμε το θεώρημα του Μενελάου. Κατ'αρχάς στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με τέμνουσα την $\displaystyle STP$ :
$\displaystyle \frac{AS}{SB}\cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CT}{TA}=1 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \cdot \frac{(5+CP)}{CP} \cdot \frac{2}{4}=1 \Leftrightarrow CP=1$
Με δεύτερη εφαρμογή του θεωρήματος στην περίπτωση του τριγώνου $\displaystyle SBP$ με τέμνουσα την $\displaystyle ATC$ έχουμε:
$\displaystyle \frac{PC}{CB} \cdot \frac{BA}{AS} \cdot \frac{ST}{TP}=1 \Leftrightarrow \frac{TP}{TS}= \frac{PC \cdot BA}{CB \cdot AS} \Leftrightarrow \boxed{ \frac{TP}{TS}= \frac{4}{5} }$ .

Θα προσπαθήσω και το δεύτερο ερώτημα, αν και το βλέπω δύσκολο να καταφέρω να το λύσω...

KARKAR · #4

Έχει απαντηθεί το ένα ( ίσως το δυσκολότερο ! ) ερώτημα . Για να μη μείνει η απάντηση μισή , ας δοθεί

μια μικρή υπόδειξη στους μαθητές μας ... Γνωρίζοντας τις πλευρές ενός τριγώνου , μπορούμε να βρούμε

σχεδόν τα πάντα γι αυτό , χρησιμοποιώντας ένα ισχυρότατο τργωνο-γεωμετρικό εργαλείο . Ποιό ;

mathlete23 · #5

Σκέφτηκα στην αρχή τον νόμο των ημιτόνων, αλλά δεν με πήγε πουθενά η ιδέα. Όμως, με τον νόμο των συνημιτόνων, στο $\displaystyle {\overset{\triangle}{ABC}}$ , έχουμε:
$4^{2}=6^{2}+5^{2}-2\cdot 6\cdot 5\cos{\angle ACB}\Leftrightarrow \cos{\angle ACB}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow \cos{\angle TCP}=-\frac{3}{4}$ .
Από εδώ και πέρα απλά εφαρμόζουμε άλλη μία φορά τον νόμο των συνημιτόνων στο $\displaystyle {\overset{\triangle}{CTP}}$ για να βρούμε την $\displaystyle TP$ , και μετά υπολογίζουμε την περίμετρο, ενώ το εμβαδόν υπολογίζεται άμεσα από τον τύπο του Ήρωνα:
$\displaystyle \rightarrow TP^{2}=2^{2}+1^{2}-2\cdot 1\cdot 2\cdot (-\frac{3}{4}) \Leftrightarrow TP=2\sqrt{2}$
$\displaystyle \Pi_{\displaystyle {\overset{\triangle}{CTP}}}=CT+TP+PC=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$
$\displaystyle E_{\displaystyle {\overset{\triangle}{CTP}}}=\sqrt{\tau(\tau-2)(\tau-2\sqrt{2})(\tau-1)} {\overset{\tau=\frac{3}{2}+\sqrt{2}}{=}}\frac{\sqrt{7}}{2}$ .

Ελπίζω μόνο οι υπολογισμοί να είναι εντάξει, γιατί αλλιώς...

Πάντως η άσκηση ήταν πολύ ενδιαφέρουσα!

Εποπτεία τριγώνου ( Β' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Εποπτεία τριγώνου ( Β' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Re: Εποπτεία τριγώνου ( Β' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Re: Εποπτεία τριγώνου ( Β' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Re: Εποπτεία τριγώνου ( Β' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Re: Εποπτεία τριγώνου ( Β' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Μέλη σε σύνδεση