Τεταρτοκύκλιο και τετράγωνο

#1

Σε ένα τεταρτοκύκλιο ακτίνας

τοποθετούμε ένα τετράγωνο, όπως στην εικόνα. Η μία κορυφή του τετραγώνου είναι το κέντρο του κύκλου και η άλλη άκρη της διαγωνίου είναι στην περιφέρεια του κύκλου. Πόσο είναι το εμβαδόν του μεικτόγραμμου χωρίου

και πόσο του

, συναρτήσει των

και $\theta$ ;
.

#2

Επαναφορά για τους μαθητές μας.

Αν δεν απαντήσουν σε 24 ώρες, τότε η άσκηση είναι ανοικτή σε όλους.

KARKAR · #3

: Τεταρτημόριο.png (21.1 KiB) Προβλήθηκε 1848 φορές

Μιας και η άσκηση απευθύνεται πρωτίστως σε μαθητές , ας μου επιτραπεί μια υπόδειξη :

Δείτε τα εμβαδά

και

, ως διαφορές τριγώνων από τομείς ...

#4

Θανάση, ευχαριστούμε για την υπόδειξη.

Ας προσθέσω ότι, εκτός από την προσθαφαίρεση σχημάτων, ένα ουσιαστικό στοιχείο είναι ότι η γωνία $\theta$ εμφανίζεται σε δύο σημεία. Στο σχήμα του Θανάση, είναι ενσωματωμένη αυτή η παρατήρηση.

#5

Ανοικτή σε όλους.

smely_123 · #6

Το σχήμα:

: Σχήμα.jpg (13.33 KiB) Προβλήθηκε 1230 φορές

Το εμβαδόν του τομέα FAB είναι $\displaystyle{E_1 &= \frac{\pi R^2 (45 + \theta)}{360}}$ .

To τρίγωνο FAZ είναι ορθογώνιο ( $\hat{Z}=1L$ ) και ισοσκελές ( FZ=ZA

), διότι το τετράπλευρο ΑΤFZ είναι τετράγωνο. H AF είναι διαγώνιος του τετραγώνου και ίση με την ακτίνα

άρα $AZ = \frac{R}{\sqrt2}$ , οπότε για το εμβαδόν του $\overset{\triangle}{FAZ}$ ισχύει Ετριγ. $_1 = \frac{AZ^2}{2} = \frac{R^2}{4}$ .

Επομένως, το εμβαδόν του μεικτόγραμμου χωρίου

ισούται με E_1 -

Ετριγ. $_1 = \frac{R^2}{4} (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi \theta}{90} - 1)$ .

Το εμβαδόν του τομέα CAF είναι $\displaystyle{E_2 &= \frac{\pi R^2 (45 - \theta)}{360}}$ .

Στο τρίγωνο STA βρίσκουμε ότι εφθ $= \frac{TS}{AT} \Leftrightarrow TS =$ εφθ

$\Leftrightarrow TS =$ εφθ $\frac{R}{\sqrt2}$ διότι το ΑΤFZ είναι τετράγωνο, συνεπώς $\displaystyle{AT = AZ = \frac{R}{\sqrt2}}$ .
Επιπλέον, και τα ευθύγραμμα τμήματα ΤF, AT είναι ίσα μεταξύ τους ως πλευρές του τετραγώνου άρα: $SF = TF - TS = AT - {\text {\gr εφ}} \theta\frac{R}{\sqrt2} = \frac{R}{\sqrt2} - {\text {\gr εφ}} \theta\frac{R}{\sqrt2} = \frac{R}{\sqrt2}(1 -{\text {\gr εφ}} \theta)$ .

Έστω Ετριγ.

το εμβαδόν του τριγώνου SAF, τότε Ετριγ. _2=

Ετραπ. $_{SFZA} -$ Ετριγ.

$= \frac{AZ(SF + AZ)}{2} - \frac{R^2}{4}$ $= \frac{\sqrt2RSF}{4} = \frac{R^2(1 - {\text {\gr εφ}} \theta)}{4}$

Επομένως, το εμβαδόν του μεικτόγραμμου χωρίου

ισούται με E_2 -

Ετριγ. $_2 = \frac{R^2}{4} (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi \theta}{90} - 1 +$ εφθ).

Υ.Σ. Από τις υποδείξεις εξάγεται ότι τομείς -τους οποίους δεν έχουμε ορίσει μέχρι την Α λυκείου- είναι ποσοστά του κυκλικού δίσκου που φαίνονται στο σχήμα σαν κομμάτια πίτσας. Αυτό υπέθεσα και το επιβεβαίωσα με μια γρήγορη αναζήτηση στον ιστό. Επίσης, ζητώ συγγνώμη αν η απάντηση είναι ενίοτε ασαφής επειδή δε γράφονται αναλυτικά οι ισότητες βήμα βήμα με τις πράξεις. Δεν έχω εξοικειωθεί ακόμα με τη ${\mathrm \LaTeX }$ με αποτέλεσμα η στοιχειοθέτηση ολοκληρωμένης απάντησης να είναι δύσκολη και χρονοβόρα. Παρ' όλα αυτά, αν έχετε απορίες ή θα θέλατε διευκρινίσεις, είμαι στη διάθεσή σας.

#7

smely_123 έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 19, 2025 10:57 am

Έστω Ετριγ. το εμβαδόν του τριγώνου SAF, τότε Ετριγ. Ετραπ. $_{SFZA} -$ Ετριγ. $= \frac{AZ(SF + AZ)}{2} - \frac{R^2}{4}$ $= \frac{\sqrt2RSF}{4} = \frac{R^2(1 - {\text {\gr εφ}} \theta)}{4}$

Ωραιόρατα.

Πιο απλά το παραπάνω βήμα: Το τρίγωνο SAF

έχει βάση

και ύψος

. Και τα δύο είναι γνωστά από αυτά που έγραψες νωρίτερα, οπότε το εμβαδόν του είναι άμεσο.

Τεταρτοκύκλιο και τετράγωνο

Τεταρτοκύκλιο και τετράγωνο

Re: Τεταρτοκύκλιο και τετράγωνο

Re: Τεταρτοκύκλιο και τετράγωνο

Re: Τεταρτοκύκλιο και τετράγωνο

Re: Τεταρτοκύκλιο και τετράγωνο

Re: Τεταρτοκύκλιο και τετράγωνο

Re: Τεταρτοκύκλιο και τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση