Άθροισμα δυνάμεων

#1

Να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle {\left( {\frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} \right)^8} + {\left( {\frac{{1 - \sqrt {13} }}{2}} \right)^8}$

24 ώρες για μαθητές μέχρι Α' Λυκείου.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 04, 2021 8:00 pm
Να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle {\left( {\frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} \right)^8} + {\left( {\frac{{1 - \sqrt {13} }}{2}} \right)^8}$

24 ώρες για μαθητές μέχρι Α' Λυκείου.

Νομίζω ότι δεν την γλιτώνουμε χωρίς κάποιες πράξεις, αλλά σίγουρα δεν χρειάζεται να κάνουμε το πλήρες ανάπτυγμα "στην όγδοη δύναμη" των δύο παραστάσεων. Εκμεταλευόμαστε σε ένα βαθμό ότι οι δύο παραστάσεις είναι συζυγείς.

Έχουμε

$\displaystyle{\left (\frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} \right)^8= \left ( \left ( \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} \right)^2 \right )^4= \left ( \frac{{7 + \sqrt {13} }}{2}} \right)^4=}$

$\displaystyle{ =\left ( \left ( \frac{{7 + \sqrt {13} }}{2}} \right)^2 \right )^2 = \left ( \frac{{31 +7 \sqrt {13} }}{2}} \right)^2= \frac{{799 +217 \sqrt {13} }}{2}}}$

Όμοια (και δεν χρειάζεται να ξανακάνουμε την διαδικασία αλλά βάζουμε τα κατάλληλα "πλην" όπου πρέπει) έχουμε (αντιγράφω και επικαιροποιώ)

$\displaystyle{\left (\frac{{1 - \sqrt {13} }}{2}} \right)^8= \left ( \left ( \frac{{1 - \sqrt {13} }}{2}} \right)^2 \right )^4= \left ( \frac{{7 - \sqrt {13} }}{2}} \right)^4=}$

$\displaystyle{ =\left ( \left ( \frac{{7 -\sqrt {13} }}{2}} \right)^2 \right )^2 = \left ( \frac{{31 -7 \sqrt {13} }}{2}} \right)^2= \frac{{799 -217 \sqrt {13} }}{2}}}$

Προσθέτουμε κατά μέλη τα άκρα, οπότε η ζητούμενη παράσταση ισούται 799

.

#3

Μπορούμε να εργαστούμε και ως εξής:

Οι δύο αριθμοί που εμφανίζονται είναι οι ρίζες της x^2-x-3=0

. Αν

μια τέτοια ρίζα τότε έχουμε διαδοχικά:

x^2 = x+3

Αν λοιπόν $\alpha,\beta$ οι δύο ρίζες τότε

$\displaystyle \alpha^8 + \beta^8 = 217(\alpha+\beta) + 2\cdot 291 = 217 + 582 = 799$

#4

Μιχάλη και Δημήτρη σας ευχαριστώ για τις λύσεις σας. Ας το δούμε και αλλιώς.

Έστω $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\\ \\ y = \dfrac{{1 - \sqrt {13} }}{2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 1\\ \\ xy = - 3 \end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {(x + y)^2} - 2xy = 7$

$\displaystyle {x^8} + {y^8} = {({x^4} + {y^4})^2} - 2{x^4}{y^4} = {\left[ {{{({x^2} + {y^2})}^2} - 2{x^2}{y^2}} \right]^2} - 162 = {\left( {{7^2} - 18} \right)^2} - 162 = 799$

#5

Το θέμα που πρότεινε ο Γιώργος Βισβίκης έφερε στη μνήμη μου το είδος των μαθηματικών προβλημάτων που αντιμετωπίζαμε ως μαθητές πριν από μισό αιώνα (!), προετοιμαζόμενοι για τις εισαγωγικές εξετάσεις των Α.Ε.Ι.
Σκαλίζοντας το αρχείο μου ανακάλυψα ότι πέρα από τις ωραίες και σύντομες λύσεις που έδωσαν ο Μιχάλης, ο Δημήτρης και ο Γιώργος, τέτοια θέματα αντιμετωπίζονταν και με γενικότερες μεθόδους, ενταγμένες στη λεγόμενη «θεωρία του τριωνύμου». Έτσι π.χ. η μελέτη των ριζών $\rho _ {1},\rho _ {2}$ της εξίσωσης $\alpha x^2+\beta x+\gamma$

περιελάμβανε αναδρομικούς τύπους όπως ο

$S_{\nu}=\rho_{1}^{\nu}+\rho_{2}^{\nu}=-\frac{1}{\alpha}\left ( \beta \cdot S_{\nu-1}+\gamma \cdot S_{\nu-2} \right )$ με $\nu$ φυσικό $\geq 2$ .

Η απόδειξη της σχέσης αυτής γίνονταν είτε με χρήση των $\alpha\rho _{1}^{2}+\beta \rho_{1}+\gamma =0$ και $\alpha \rho _{2}^{2}+\beta \rho_{2} +\gamma =0$
(πολλαπλασιάζοντας την πρώτη επί $\rho {_{1}^{\nu-2}}$ , την δεύτερη επί $\rho {_{2}^{\nu-2}}$ και προσθέτοντας κατά μέλη) είτε με μαθηματική επαγωγή.
Με χρήση του προηγούμενου αναδρομικού τύπου ο υπολογισμός του αθροίσματος $\left ( \frac{1+\sqrt{13}}{2} \right )^{8}+\left ( \frac{1-\sqrt{13}}{2} \right )^{8}$
ανάγεται στην εκτέλεση μιας (μάλλον κουραστικής) ρουτίνας αριθμητικών υπολογισμών για την περίπτωση της εξίσωσης $x^{2}-x-3=0$
(που έχει βέβαια το πλεονέκτημα ότι εφαρμόζεται πανομοιότυπα για κάθε εκθέτη, ενώ μπορεί εύκολα να επεκταθεί και σε αρνητικούς εκθέτες με χρήση ενός αντίστοιχου αναδρομικού τύπου).

Ο Γιώργος πρότεινε (θα έλεγα κάπως προκλητικά) το θέμα αυτό για μαθητές της Α΄ Λυκείου. Αναρωτιέμαι πολλές φορές αν τα σχολικά μαθηματικά εκείνης της εποχής θα μπορούσαν να προσφέρουν στους σημερινούς μαθητές μια καλύτερη μαθηματική παιδεία από αυτήν που παρέχεται σήμερα με δόσεις/συνταγές πετσοκομμένης Άλγεβρας και Ανάλυσης.

Γιάννης Θωμαΐδης

#6

Γιάννης Θωμαΐδης έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 09, 2021 11:06 pm
Αναρωτιέμαι πολλές φορές αν τα σχολικά μαθηματικά εκείνης της εποχής θα μπορούσαν να προσφέρουν στους σημερινούς μαθητές μια καλύτερη μαθηματική παιδεία από αυτήν που παρέχεται σήμερα με δόσεις/συνταγές πετσοκομμένης Άλγεβρας και Ανάλυσης.

Είμαι πεπεισμένος ότι ναι, τα σχολικά μαθηματικά εκείνης της εποχής θα μπορούσαν πράγματι να προσφέρουν στους σημερινούς μαθητές μια καλύτερη μαθηματική παιδεία από αυτήν που παρέχεται σήμερα.

Ο λόγος είναι γιατί δίνουν περισσότερη σημασία στην έννοια της απόδειξης και οι ασκήσεις συχνά έχουν ένα κομψό επιχείρημα. Μαθηματικά χωρίς επιχειρήματα, με θέματα που δεν απαιτούν επινόηση (όσο μικρή και αν είναι αυτή) καταντούν ανιαρά και απωθούν τους μαθητές.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #7

Θα συμφωνήσω με το Μιχάλη. Μία από τις επιτυχίες του mathematica είναι ότι προβάλλει τα σχολικά μαθηματικά εκείνης της εποχής.

kkala · #8

Στην Άλγεβρα του Νείλου Σακελλαρίου (ΟΕΣΒ, 1951-1976, ή αργότερα) αναγράφονται ασκήσεις με πράξεις επί των ριζών τριωνύμου υψωμένες έως τον κύβο *. Σε άλλο κεφάλαιο το άθροισμα των τετραγώνων ή κύβων των πρώτων Ν φυσικών αριθμών βρίσκεται με αναδρομικούς τύπους**.
Προσωπικά θεωρώ σαν πιο αντιπροσωπευτική λύση για την εποχή εκείνη την #4 (George Visvikis), παρόλο που όλες οι παραπάνω αναρτήσεις έχουν αξία. Επισημαίνεται πάντως για την περίπτωσή μου ότι στην Γ ' Λυκείου (1966-67) η ύλη της Άλγεβρας είχε διδαχθεί επί τροχάδην, με πολύ λίγα για το τριώνυμο. Εικάζω σαν λόγο το ότι όλος σχεδόν ο χρόνος Άλγεβρας της Β' Λυκείου (1965-66) αναλώθηκε στα "μοντέρνα μαθηματικά" (Σύνολα και Αναλυτική Γεωμετρία) και στις προόδους/λογαρίθμους (μάλλον καθυστερησαν από Α' Λυκείου). Οπότε στη Γ΄Λυκείου ο καθηγητής "ετρεχε" για να προλάβει 'ολη την ύλη .
Παρά την έλλειψη διδακτικής πείρας, τολμώ να πώ ότι το ενδιαφέρον για εκμάθηση των μαθηματικών εκ μέρους των μαθητών έχει πέσει σημαντικά τα τελευταία 50 χρόνια. Στηρίζομαι βέβαια στις τάξεις Λυκείου που αποφοίτησαν γύρω στο 2000, όταν αποφοιτούσαν και οι γιοί μου από το Λύκειο. Τα Μαθηματικά για την πλειοψηφία ήταν αγγαρεία, που προσπαθούσαν να την περάσουν όσον το δυνατόν ανώδυνα μαθαίνοντας μερικές "συνταγές" ασκήσεων. Ιδίως τα "Μαθηματικά Κατεύθυνσης" 'της Γ΄ Λυκείου ήταν σχεδόν "μαύρο κουτ'ι". Και αυτά προτού αρχίσουν οι "εκπτώσεις ύλης" στο Μάθημα της Γεωμετρίας, οπότε η σημερινή κατάσταση ενδέχεται να είναι χειρότερη.
Τα Μαθηματικά έχουν για πολλούς πάψει να είναι το θελκτικό και λίγο μυστηριώδες μάθημα που ανακαλύπτει κάτι σαν νεους κόσμους και βοηθάει την νοικοκυρεμένη σκέψη.
Στο Γ΄ έτος Γυμνασίου (1963-64) μου έκανε εντύπωση η υπομονή πολλών μαθητών της τάξης να κατανοήσουν το δύσκολο μάθημα της Θεωρητικής Γεωμετρίας, πορόλο που όλοι σχεδόν (εκτος από δύο) ακολούθησαν αργότερα θεωρητική κατεύθυνση ή δεν σπούδασαν. Είχα δει τη Γεωμετρία του Τόγκα στο σπίτι δύο αδελφων, εκεί γνώρισα το βιβλίο. Θα μπορούσε 'αραγε να αναπτυχθεί τέτοιο ενδιαφέρον σήμερα; Δύσκολα και με πολλή προσπάθεια.
Σημ. Τα παραπάνω δεν αφορούν το Δημοτικό, όπου η διδασκαλία των Μαθηματικών μάλλον καλυτέρεψε σε σύγκριση με τότε.

* μετά την παρ. 179 "σχέσις συντελεστών και ριζών της ax^2*bx+c=0

''
** Άλγεβρα Ν. Σακελλαρίου, ασκήσεις σελ. 259, μετά το κεφ. "Αθροισμα Όρων Αριθμητικής Προόδου".

Άθροισμα δυνάμεων

Άθροισμα δυνάμεων

Re: Άθροισμα δυνάμεων

Re: Άθροισμα δυνάμεων

Re: Άθροισμα δυνάμεων

Re: Άθροισμα δυνάμεων

Re: Άθροισμα δυνάμεων

Re: Άθροισμα δυνάμεων

Re: Άθροισμα δυνάμεων

Μέλη σε σύνδεση