Εξίσωση

Λάμπρος Μπαλός · #1

Α' Λυκείου , μέχρι την 1η Μαΐου

Αν $x_{1},x_{2}>0$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης $x^{2}-Sx+P=0$ και $A=\sqrt[3]{x_{1}} + \sqrt[3]{x_{2}}$ ,

α) Να αποδείξετε ότι $A^{3}=3 \sqrt[3]{P}\cdot A+S$ .

β) Να βρείτε μία ρίζα της εξίσωσης $x^{3}-3x-8=0$ .

glinos · #2

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 28, 2018 1:59 pm
Α' Λυκείου , μέχρι την 1η Μαΐου

Αν $x_{1},x_{2}>0$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης $x^{2}-Sx+P=0$ και $A=\sqrt[3]{x_{1}} + \sqrt[3]{x_{2}}$ ,

α) Να αποδείξετε ότι $A^{3}=3 \sqrt[3]{P}\cdot A+S$ .

β) Να βρείτε μία ρίζα της εξίσωσης $x^{3}-3x-8=0$ .

α)

$A^{3}=\left ( {\sqrt[3]{{x_1{}}}}+{\sqrt[3]{{x_{2}}}} \right )^{3}= {x_1}+3{\sqrt[3]{{x_1}^2}}{\sqrt[3]{{x_2}}}+3{\sqrt[3]{{x_2}^2}}{\sqrt[3]{{x_1}}}+x_2= x_1+x_2+3{\sqrt[3]{{x_1}{x_2}}}\left ( {\sqrt[3]{{x_1}}}+{\sqrt[3]{{x_2}}} \right )= 3{\sqrt[3]{P}}\cdot A+S$

β)

Από την προηγούμενη απάντηση συνεπάγεται ότι $A^3-3{\sqrt[3]{P}}\cdot A-S=0$

δηλαδή $A^3-3{\sqrt[3]{{x_1}{x_2}}}\cdot A-(x_1+x_2)=0$ , ενώ $A={\sqrt[3]{x_1}}+{\sqrt[3]{x_2}}$ .

Παρόμοια θα εργαστούμε και στην εξίσωση x^3-3x-8=0

.

Τότε μία ρίζα είναι $x={\sqrt[3]{\rho_1}}+{\sqrt[3]{\rho_2}}$

όπου $3{\sqrt[3]{\rho_1\rho_2}}=3$ και $\rho_1+\rho_2=8$ .

Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε $\rho_1=4+{\sqrt{15}}$ και

$\rho_2=4-{\sqrt{15}}$ , οπότε μία ρίζα είναι η $x={\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}}+{\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}}$

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση