Ελαφρώς αλλαγμένη

Λάμπρος Μπαλός · #1

Για την Α' Λυκείου, μέχρι τέλος Γενάρη.

Για τους

και

, ισχύει ότι :

$a^{2}-4a+b^{2}+10b+20=0$ .

Να αποδείξετε ότι $a>b+ \frac{3}{2}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.

#3

Ας την σφίξουμε: Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{a\geq b+7-3\sqrt{2}.}$

#4

Θέτουμε

Απαλείφοντας το

από τη αρχική σχέση βρίσκουμε
2b^2+(2x+6)b+x^2-4x+20=0.

Η τελευταία έχει μη αρνητική διακρίνουσα οπότε $x^2-14x+31\leq 0$ και τελικά $7-3\sqrt2\leq a-b\leq 7+3\sqrt2.$

Λάμπρος Μπαλός · #5

Ωραία. Εναλλακτικά,

$(a-2)^{2}+(-b-5)^{2}=9$ .

Είναι, $2[(a-2)^{2}+(-b-5)^2] \geq (a-b-7)^{2}$ .

Άρα, $|a-b-7| \leq 3 \sqrt{2} \Rightarrow a-b \geq 7-3 \sqrt{2}$ .

Θα προτιμούσα να έβλεπα προσπάθεια μαθητών. Την έδωσα σε κάποιους δικούς μου, με το φράγμα που έδωσα αρχικά. Άντε να δούμε τί θα μου φέρουν! Καληνύχτα σας.

Λάμπρος Κατσάπας · #6

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 28, 2018 3:30 pm
Για την Α' Λυκείου, μέχρι τέλος Γενάρη.

Για τους και , ισχύει ότι :

$a^{2}-4a+b^{2}+10b+20=0$ .

Να αποδείξετε ότι $a>b+ \frac{3}{2}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Υπήρξε παλαιότερο θέμα στον Ευκλείδη, λίγο διαφορετικό. Η ανισότητα μπορεί να γίνει ακόμη καλύτερη, χρησιμοποιήστε σχολικά μέσα.

H εξίσωση $a^{2}-4a+b^{2}+10b+20=0$ είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο το (2,-5)

Αφού θέλουμε να εκτιμήσουμε τη

διαφορά b-a

θεωρούμε τη μεταβλητή ευθεία b=a+k

. Στο σημείο που αυτή εφάπτεται πρώτη φορά στον κύκλου,

κινούμενη από πάνω προς τα κάτω, παίρνουμε το ζεύγος (a,b)

που δίνει το max(b-a)

(εκεί πετυχαίνουμε το μέγιστο

) Για ευκολία θεωρούμε πρώτα τον κύκλο με κέντρο το (0,0)

και ακτίνα

Η ευθεία μας

τώρα θα έχει εξίσωση $\frac{3\sqrt{2}}{2}b-\frac{3\sqrt{2}}{2}a=9\Leftrightarrow b=a+3\sqrt{2}$ (εφάπτεται στο

$(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2})$ ) Μετατοπίζοντάς την τώρα κατά 2 μονάδες δεξιά και πέντε μονάδες κάτω

η εξίσωσή της γίνεται $b=a+3\sqrt{2}-7$ . Αυτή τώρα έχει σημείο τομής με τον κατακόρυφο άξονα το

$(0,k_{max})=(0,(b-a)_{max})=(0,3\sqrt{2}-7).$ Άρα $b-a\leq 3\sqrt{2}-7$

#7

Μια ακόμα σκέψη:
Η αρχική γράφεται $\left(\dfrac{a-2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{b+5}{3}\right)^2=1.$

Υπάρχει $\theta\in [0,2\pi)$ ώστε $\cos\theta=\dfrac{a-2}{3}$ και $\sin\theta=\dfrac{b+5}{3}$

οπότε $a-b-7=3(\cos\theta-\sin\theta)=3\sqrt2\cos(\dfrac{\pi}{4}-\theta).$

Άρα $a-b-7\in[-3\sqrt2,3\sqrt2]$

Ελαφρώς αλλαγμένη

Ελαφρώς αλλαγμένη

Re: Ελαφρώς αλλαγμένη

Re: Ελαφρώς αλλαγμένη

Re: Ελαφρώς αλλαγμένη

Re: Ελαφρώς αλλαγμένη

Re: Ελαφρώς αλλαγμένη

Re: Ελαφρώς αλλαγμένη

Μέλη σε σύνδεση