Άθροισμα και γινόμενο : φυσικοί

Γιώργος Απόκης · #1

Το άθροισμα και το γινόμενο δύο αριθμών $\displaystyle{x,y}$ είναι φυσικοί αριθμοί.

Είναι απαραίτητα οι $\displaystyle{x,y}$ φυσικοί;

(Γ' Γυμνασίου - Μέχρι 5-6-15)

Ηλιας Φραγκάκος · #2

Αποκλείουμε την περίπτωση να είναι φυσικός μόνο ένας από τους δύο, διότι τότε το άθροισμά τους δεν θα είναι φυσικός. Ας υποθέσουμε λοιπόν, ότι οι x,y

δεν είναι ακέραιοι. Τότε τα δεκαδικά τους μέρη θα πρέπει να έχουν άθροισμα

. Για να έχουν όμως ακέραιο γινόμενο, πρέπει τα δεκαδικά τους μέρη, πολλαπλασιαζόμενα, να δίνουν ακέραιο γινόμενο. Πράγμα αδύνατον επειδή πάντα το γινόμενο δύο κλασμάτων μικρότερων της μονάδας είναι μικρότερο του

.

Γιώργος Απόκης · #3

Ηλιας Φραγκάκος έγραψε:Αποκλείουμε την περίπτωση να είναι φυσικός μόνο ένας από τους δύο, διότι τότε το άθροισμά τους δεν θα είναι φυσικός. Ας υποθέσουμε λοιπόν, ότι οι δεν είναι ακέραιοι. Τότε τα δεκαδικά τους μέρη θα πρέπει να έχουν άθροισμα . Για να έχουν όμως ακέραιο γινόμενο, πρέπει τα δεκαδικά τους μέρη, πολλαπλασιαζόμενα, να δίνουν ακέραιο γινόμενο. Πράγμα αδύνατον επειδή πάντα το γινόμενο δύο κλασμάτων μικρότερων της μονάδας είναι μικρότερο του $\color{red}1$ .

Χμμμ... για σκέψου λίγο : αν έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία;

Αρχιμήδης 6 · #4

Καλημέρα Ηλία.

Ηλιας Φραγκάκος έγραψε: Για να έχουν όμως ακέραιο γινόμενο, πρέπει τα δεκαδικά τους μέρη, πολλαπλασιαζόμενα, να δίνουν ακέραιο γινόμενο.

Εδώ είναι το λάθος σου.

#5

Bonus:
Το άθροισμα και το γινόμενο δύο ρητών αριθμών $\displaystyle{x,y}$ είναι φυσικοί αριθμοί. Είναι απαραίτητα οι $\displaystyle{x,y}$ φυσικοί;

Γιώργος Απόκης · #6

Δίνω την απάντηση στο αρχικό ζητούμενο : όχι απαραίτητα.

Για παράδειγμα, αν $\displaystyle{x=2+\sqrt{3},~y=2-\sqrt{3}}$ έχουμε

$\displaystyle{x+y=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4}$ και

$\displaystyle{xy=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-\sqrt{3}^2=4-3=1}$

χωρίς οι $\displaystyle{x,y}$ να είναι φυσικοί.

Ας αφήσουμε για μερικές μέρες το ενδιαφέρον ερώτημα του socrates...

irakleios · #7

socrates έγραψε:Bonus:
Το άθροισμα και το γινόμενο δύο ρητών αριθμών $\displaystyle{x,y}$ είναι φυσικοί αριθμοί. Είναι απαραίτητα οι $\displaystyle{x,y}$ φυσικοί;

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν ρητοί μη φυσικοί αριθμοί x,y

τέτοιοι ώστε x+y = p

και

όπου

φυσικοί αριθμοί .

Τότε θα ισχύει y^2 - py + q = 0

Για να έχει η εξίσωση αυτή ρητές ρίζες μη φυσικούς αριθμούς, θα πρέπει να ισχύουν p^2 - 4q = m^2

και $p+\sqrt{p^2-4q} = 2n + 1.$ :όπου m,n

φυσικοί αριθμοί .
Τότε προκύπτει ότι 4n^2 + 1 + 4n - 4nm - 4m - 4q = 0

ή

και

ακέραιος . Άτοπο .

Άρα οι αριθμοί x,y

πρέπει να είναι φυσικοί

Γιώργος Απόκης · #8

irakleios έγραψε:
socrates έγραψε:Bonus:
Το άθροισμα και το γινόμενο δύο ρητών αριθμών $\displaystyle{x,y}$ είναι φυσικοί αριθμοί. Είναι απαραίτητα οι $\displaystyle{x,y}$ φυσικοί;
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν ρητοί μη φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε και όπου φυσικοί αριθμοί .

Τότε θα ισχύει

Για να έχει η εξίσωση αυτή ρητές ρίζες μη φυσικούς αριθμούς, θα πρέπει να ισχύουν και $p+\sqrt{p^2-4q} = 2n + 1.$ :όπου
φυσικοί αριθμοί .
Τότε προκύπτει ότι ή και ακέραιος . Άτοπο .

Άρα οι αριθμοί πρέπει να είναι φυσικοί

Άθροισμα και γινόμενο : φυσικοί

Άθροισμα και γινόμενο : φυσικοί

Re: Άθροισμα και γινόμενο : φυσικοί

Re: Άθροισμα και γινόμενο : φυσικοί

Re: Άθροισμα και γινόμενο : φυσικοί

Re: Άθροισμα και γινόμενο : φυσικοί

Re: Άθροισμα και γινόμενο : φυσικοί

Re: Άθροισμα και γινόμενο : φυσικοί

Re: Άθροισμα και γινόμενο : φυσικοί

Μέλη σε σύνδεση