Πρόβλημα 1
Να βρεθούν όλες οι τριάδες μη αρνητικών ακεραίων
που ικανοποιούν την εξίσωση:
Πρόβλημα 2
Αν για τα πολυώνυμα
![P(x),Q(x)\in\mathbb{Z}[x]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/567207173a50be488ce4509908612c2c.png "P(x),Q(x)\in\mathbb{Z}[x]")
ισχύει ότι:(1) Είναι μονικά με ακέραιους συντελεστές μεγαλύτερους του
(Μονικά είναι τα πολυώνυμα που έχουν συντελεστή μεγιστοβάθμιου όρου ίσο με 1)
(2) Είναι μη σταθερά τέτοια ώστε:
για κάποιο περιττό πρώτο αριθμό 
και 
(3) Ο
είναι πρώτος αριθμόςα) Να βρεθούν τα δυνατά πολυώνυμα
β) Ποια είναι η αναγκαία και ικανή συνθήκη έτσι ώστε
;(Με
συμβολίζουμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των 
)Πρόβλημα 3
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο
εγγεγραμμένο σε κύκλο 
.Τα ύψη
τέμνουν την εφαπτόμενη του κύκλου στο 
στα σημεία
αντίστοιχα. Αν οι 
τέμνουν τον στασημεία
να αποδείξετε ότι η 
είναι παράλληλη με την 
.Πρόβλημα 4
Δίνεται ένα σύνολο
το οποίο περιλαμβάνει 
σημεία του επιπέδου έτσι ώστε ανά τρία να μην είναι συνευθειακά. Στην συνέχεια το παραπάνω
σύνολο, διαμερίζεται σε
υποσύνολα. Έπειτα, σε κάθε ζεύγος σημείων που ανήκουνστο ίδιο υποσύνολο, φέρνουμε το ευθύγραμμο τμήμα που τα ενώνει και το
χρωματίζουμε με ένα από τα πέντε διαθέσιμα χρώματα. Μία διαμέριση του
συνόλου
θα ονομάζεται "καλή" αν υπάρχει κατάλληλος χρωματισμός έτσι ώστε κάθε τρίγωνο που σχηματίζεται να έχει και τις 3 πλευρές του
βαμμένες με διαφορετικό χρώμα. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του
έτσι ώστε να μην υπάρχει "καλή" διαμέριση του
είναι 
.
, έχουμε την 
.
είναι πρώτος, πρέπει 
.
(1).
, 
και 
, άτοπο.
.
.
, από την (1) είναι 
, άτοπο.
, άρα 
, άτοπο.
.
.
, 
.
.
.
, 
.
και εύκολα 
.
, 
, και αφού 
(απλό), 
οπότε 
, άτοπο.
, ή 
.
.
.
, άτοπο.
(εφαπτόμενη).
, άρα 
εγγράψιμο.
, οπότε 
(1).
και 
, άρα 
(2).
.
ως υπό χορδής και εφαπτομένης
εγγράψιμο από όπου:
ή 
και 
ως εφαπτόμενη άρα: 
.
έχω: 
και ως υπό χορδής και εφαπτομένης: 
είναι της μορφής 
.
.
, άρα η εξίσωση γίνεται:
με το 
είναι 
. Ταυτόχρονα όμως πρέπει το 
ή 
. Σε καμία περίπτωση όμως δεν γίνεται κάτι τέτοιο.
δεν μπορεί καν να υπάρξει διαμέριση ώστε κάθε υποσύνολο να περιέχει τουλάχιστον 
:
τότε, επειδή 
, από την αρχή του περιστερώνα θα υπάρχει ένα υποσύνολο με τουλάχιστον 
ευθύγραμμα τμήματα που ξεκινούν από αυτό. Τουλάχιστον 
θα έχουν το ίδιο χρώμα και θα σχηματίζουν τρίγωνο, άτοπο.
. Τότε μπορώ να διαμερίσω το σύνολο σε υποσύνολα μεγέθους το πολύ ![\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-0.9479300952812239,0.5562401417792119) rectangle (2.9990482739521958,4.3307284537453565);
\draw [line width=1.6pt,color=red] (1.,2.376381920471174)-- (1.,4.077683537175253);
\draw [line width=1.6pt,color=red] (-0.6180339887498947,2.9021130325903073)-- (2.618033988749895,2.9021130325903064);
\draw [line width=1.6pt,color=red] (0.,1.)-- (2.,1.);
\draw [line width=1.6pt,color=blue] (1.,2.376381920471174)-- (2.618033988749895,2.9021130325903064);
\draw [line width=1.6pt,color=blue] (1.,4.077683537175253)-- (2.,1.);
\draw [line width=1.6pt,color=blue] (-0.6180339887498947,2.9021130325903073)-- (0.,1.);
\draw [line width=1.6pt,color=green] (1.,2.376381920471174)-- (2.,1.);
\draw [line width=1.6pt,color=green] (0.,1.)-- (2.618033988749895,2.9021130325903064);
\draw [line width=1.6pt,color=green] (-0.6180339887498947,2.9021130325903073)-- (1.,4.077683537175253);
\draw [line width=1.6pt,color=orange] (1.,2.376381920471174)-- (0.,1.);
\draw [line width=1.6pt,color=orange] (-0.6180339887498947,2.9021130325903073)-- (2.,1.);
\draw [line width=1.6pt,color=orange] (1.,4.077683537175253)-- (2.618033988749895,2.9021130325903064);
\draw [line width=1.6pt,color=yellow] (1.,2.376381920471174)-- (-0.6180339887498947,2.9021130325903073);
\draw [line width=1.6pt,color=yellow] (1.,4.077683537175253)-- (0.,1.);
\draw [line width=1.6pt,color=yellow] (2.618033988749895,2.9021130325903064)-- (2.,1.);
\draw [fill=white] (0.,1.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (2.,1.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (2.618033988749895,2.9021130325903064) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (1.,4.077683537175253) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (-0.6180339887498947,2.9021130325903073) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (1.,2.376381920471174) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c5f5ff7c26cdaea957c17f8beae19054.png "\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-0.9479300952812239,0.5562401417792119) rectangle (2.9990482739521958,4.3307284537453565);
\draw [line width=1.6pt,color=red] (1.,2.376381920471174)-- (1.,4.077683537175253);
\draw [line width=1.6pt,color=red] (-0.6180339887498947,2.9021130325903073)-- (2.618033988749895,2.9021130325903064);
\draw [line width=1.6pt,color=red] (0.,1.)-- (2.,1.);
\draw [line width=1.6pt,color=blue] (1.,2.376381920471174)-- (2.618033988749895,2.9021130325903064);
\draw [line width=1.6pt,color=blue] (1.,4.077683537175253)-- (2.,1.);
\draw [line width=1.6pt,color=blue] (-0.6180339887498947,2.9021130325903073)-- (0.,1.);
\draw [line width=1.6pt,color=green] (1.,2.376381920471174)-- (2.,1.);
\draw [line width=1.6pt,color=green] (0.,1.)-- (2.618033988749895,2.9021130325903064);
\draw [line width=1.6pt,color=green] (-0.6180339887498947,2.9021130325903073)-- (1.,4.077683537175253);
\draw [line width=1.6pt,color=orange] (1.,2.376381920471174)-- (0.,1.);
\draw [line width=1.6pt,color=orange] (-0.6180339887498947,2.9021130325903073)-- (2.,1.);
\draw [line width=1.6pt,color=orange] (1.,4.077683537175253)-- (2.618033988749895,2.9021130325903064);
\draw [line width=1.6pt,color=yellow] (1.,2.376381920471174)-- (-0.6180339887498947,2.9021130325903073);
\draw [line width=1.6pt,color=yellow] (1.,4.077683537175253)-- (0.,1.);
\draw [line width=1.6pt,color=yellow] (2.618033988749895,2.9021130325903064)-- (2.,1.);
\draw [fill=white] (0.,1.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (2.,1.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (2.618033988749895,2.9021130325903064) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (1.,4.077683537175253) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (-0.6180339887498947,2.9021130325903073) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (1.,2.376381920471174) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}")
σημείων με 
χρώματα ώστε να μην υπάρχει σημείο στο οποίο να εμφανίζονται δύο χρώματα: Παίρνουμε ένα κανονικό 
-γωνο μαζί με το κέντρο του. Χρωματίζουμε τα τμήματα από το κέντρο προς τις κορυφές με διαφορετικά χρώματα. Κάθε άλλο τμήμα παίρνει το χρώμα της ακτίνας στην οποία είναι κάθετο.
με 
και 
με 
δείξε ότι ο μεγιστοβάθμιος όρος του πολυωνύμου 
είναι ανεξάρτητος του 
καθώς και ο μεγιστοβάθμιος όρος του 
είναι ανεξάρτητος του 
. Τι ισχύει για τους μεγιστοβάθμιους όρους 2 ίσων πολυωνύμων;
![2[\binom{n}{1}x^{n-1}p+\binom{n}{3}x^{n-3}p^{3}+...+\binom{n}{n-1}p^{n-1}x]=4(xp )^{m}\Rightarrow 2(xp)^{m}=\binom{2m}{m}(xp )^{m}\Rightarrow m=1](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/2de2b0e6b2c5c881b5cf127f36de9161.png "2[\binom{n}{1}x^{n-1}p+\binom{n}{3}x^{n-3}p^{3}+...+\binom{n}{n-1}p^{n-1}x]=4(xp )^{m}\Rightarrow 2(xp)^{m}=\binom{2m}{m}(xp )^{m}\Rightarrow m=1")
,
και για κάποιον περιττό πρώτο p
,όπου 
πρωτος για κάθε πραγματική τιμή του 
ή 
,y πραγματικός 
πρέπει 
,αν 
τοτε και το πολυωνυμο 
είναι αναγωγο
και προκύπτει απο τη διαφορα :![(x+p)^n-(x-p)^n=(2p)[(x+p)^n+(x+p)^{n-1}(x-p)+...+(x-p)^{n-1}]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/1cab502427efe420c85ed1b4c2564cd9.png "(x+p)^n-(x-p)^n=(2p)[(x+p)^n+(x+p)^{n-1}(x-p)+...+(x-p)^{n-1}]")
στην οποια εχουμε 
φορες το 
τοτε απο Bernoulli :
που ειναι ατοπο.
και επειδη c πρωτος 
τα δυνατά πολυώνυμα.
,άτοπο 
,άτοπο 
,άτοπο 
είναι 
και 
και 
,άτοπο 
δεν είναι τέλειος κύβος και η αρχική εξίσωση δεν ισχύει για 
:
και 
δεν είναι δύναμη του 2 και αρχική εξίσωση δεν επαληθεύεται για 
είναι αδύνατη