Παραμετρική β' βαθμού

#1

Δίνεται η εξίσωση ως προς

$\displaystyle {x^2} - a(a - 2)x - {(a - 1)^2} = 0$ (1)

A) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1)

έχει για κάθε πραγματική τιμή του

δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

Β) Αν x_1,x_2

είναι οι ρίζες της (1),

να βρείτε τις τιμές του

ώστε: $\displaystyle 2\sqrt {{x_1} + {x_2} - 2(a - 2)} - 3\sqrt { - {x_1}{x_2}} \ge 1$

Α' Λυκείου .......πριν τον Αγιασμό των Υδάτων.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #2

Καλημέρα!
Α) Αρκεί να δείξουμε ότι $\Delta >0$
Έχουμε: $\Delta =\left ( a\left ( a-2 \right ) \right )^{2}-4\left ( -\left ( a-1 \right ) \right )^{2}=\left ( a\left ( a-2 \right ) \right )^{2}+4\left ( a-1 \right )^{2}>0$ για κάθε $a\in \mathbb{R}$
Β) Απο τους τύπoυς Vieta πέρνουμε : $x_{1}+x_{2}=a\left ( a-2 \right )$ και $x_{1}\cdot x_{2}=-\left ( a-1 \right )^{2}$
Αντικαθιστώντας στην δοσμένη ανίσωση έχουμε:
$\displaystyle 2\sqrt {{x_1} + {x_2} - 2(a - 2)} - 3\sqrt { - {x_1}{x_2}} \ge 1\Leftrightarrow 2\sqrt{a\left ( a-2 \right )-2\left ( a-2 \right )}-3\sqrt{-\left (-\left ( a-1 \right )^{2} \right )}\geq 1\Leftrightarrow 2\sqrt{\left ( a-2 \right )^{2}}-3\sqrt{\left ( a-1 \right )^{2}}\geq 1\Leftrightarrow 2\left\left | ( a-2 ) \right | -3\left | ( a-1 \right ) |\geq 1$
Για a>2

πέρνουμε ότι $\alpha \leq -2$ , άτοπο
Για 1<a<2

πέρνουμε ότι $\alpha \leq \frac{6}{5}$ , δεκτή
Για a<1

πέρνουμε ότι $a\geq 0$ , δεκτή

Παραμετρική β' βαθμού

Παραμετρική β' βαθμού

Re: Παραμετρική β' βαθμού

Μέλη σε σύνδεση