Όμορφο πρόβλημα αριθμητικής

[socrates]

Ένας επταψήφιος αριθμός αποτελείται από διαφορετικά μεταξύ τους ψηφία και είναι πολλαπλάσιο καθενός από αυτά(τα ψηφία).

Να βρεθεί από ποια ψηφία αποτελείται ο αριθμός.

[Stavroulitsa]

Καλημέρα!
Έχουμε 10 διαφορετικά ψηφία (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) και ο εφταψήφιος αριθμός θα έχει εφτά από αυτά τα ψηφία, όμως αυτά τα 7 ψηφία θα τον διαιρούν.
Αποκλείουμε το 0 γιατί δεν έχει πολλαπλάσια εκτός από τον εαυτό του.
Αποκλείουμε και το 5 γιατί όλοι οι αριθμοί που διαιρούνται με το πέντε τελείωνουν σε 0 ή 5. Ομως ο εφταψήφιος αριθμός θα είναι άρτιος γιατί τουλάχιστον 2 ψηφία του (3 αν αποκλείσουμε το 5) θα είναι άρτιοι αριθμοί άρα ο αριθμός θα διαιρείται με το 2, επομένως δεν μπορεί να τελειώνει σε 5 και ούτε σε 0 γιατί δε γίνεται να διαιρείται με το 0.
Μας έχουν μείνει τα ψηφία 1,2,3,4,6,7,8,9 και πρέπει να αποκλείσουμε ένα. Το 3,6,9 είναι πολλαπλάσια του 3, άρα ο αριθμός πρέπει οπωσδήποτε να διαιρείται με το 3. Το άθροισμα των ψηφίων 1,2,3,4,6,7,8,9 είναι 40 και αφαιρώντας έναν αριθμό κάθε φορά από το αθροισμά τους παρατηρούμε πως 3 και το 9 πρέπει να είναι οπωσδήποτε στα ψηφία του αριθμού γιατί αλλιώς τα ψηφία αν λείπει το 3 θα έχουν άθροισμα 37 και δεν μπορεί να είναι πολλαπλάσιο του 3 (το 6 και το 9 έιναι πολλαπλάσια του 3 και ανήκουν στον αριθμό, άρα ο αριθμός πρέπει να διαιρείται με το 3), ενώαν λείπει το 9 τα ψηφία θα έχουν άθροισμα 31 (δεν είναι πολλαπλάσιο του 3 που θα ανήκει στον αριθμό).
Αφού όμως το 9 θα ανήκει στα ψηφία του αριθμού, θα πρέπει ο αριθμός αυτός να έχει άθροισμα ψηφίων 36, δηλαδή αποκλείουμε το 4.
Τέλος τα ψηφία του αριθμού είναι 1,2,3,6,7,8,9

[gbaloglou]

Πολυ ωραια η λυση της Σταυρουλιτσας, αλλα επεκτεινω τωρα το προβλημα ... ζητωντας το προφανες: να βρεθει ενας τουλαχιστον επταψηφιος αριθμος που να ικανοποιει τις συνθηκες του προβληματος!

Βεβαιως στην εποχη των ηλεκτρονικων υπολογιστων μπορουμε να τους βρουμε και ολους χωρις πολυ κοπο. Παρακατω παρουσιαζω μια ατελη στρατηγικη με την οποια κατεληξα σε εξι λυσεις.

Παρατηρουμε εξ αρχης οτι το μεγαλο προβλημα ειναι η διαιρετοτητα δια 7 και, δευτερευοντως, 8. Επειδη ο 1000 διαιρειται δια 8, αρκει να περιοριστουμε σε επταψηφιους αριθμους τα τρια τελευταια ψηφια των οποιων σχηματιζουν τριψηφιο αριθμο διαιρετο δια 8. Οι τριψηφιοι αριθμοι που ειναι πολλαπλασια του 8 και που ικανοποιουν και τις υπολοιπες συνθηκες του προβληματος ειναι, αν δεν μου ξεφευγει κατι, οι εξης: 128, 136, 168, 176, 192, 216, 296, 312, 328, 368, 376, 392, 632, 672, 712, 728, 736, 768, 792, 816, 832, 872, 896, 912, 928, 936, 968, 976. Απ' αυτους τους τριψηφιους αριθμους οι μονοι διαιρετοι δια 7 ειναι οι 392, 672, 728, 896.

Βεβαιως μια ικανη, μα οχι και αναγκαια, συνθηκη για να διαιρειται ενας επταψηφιος αριθμος δια 7 ειναι να ειναι διαιρετοι δια 7 και ο αρχικος τετραψηφιος και ο τελικος τριψηφιος. Αρκει επομενως να βρουμε τετραψηφιους διαιρετους δια 7 που να αντιστοιχουν στους 392, 672, 728, 896. Επικεντρωνομαι στους 392 και 896 (που δεν περιεχουν το ψηφιο 7) και αναζητω τετραψηφιους σχηματιζομενους απο τις μεταθεσεις των {1, 6, 7, 8} και {1, 2, 3, 7}, αντιστοιχα, που ειναι διαιρετοι δια 7.

Ομολογω πως αυτην την στιγμη μου διαφευγει το κριτηριο διαιρετοτητας δια 7, αλλα βρισκω τις εξι λυσεις που προανεφερα ως εξης: επειδη ικανη και αναγκαια συνθηκη για να διαιρειται δια 7 ενας αριθμος που ειτε αρχιζει ειτε τελειωνει σε 7 ειναι να διαιρειται δια 7 ο αριθμος που απομενει οταν αφαιρεθει το ψηφιο 7, αναζητω τους τριψηφιους που σχηματιζονται απο τα ψηφια 1, 6, 8 και 1, 2, 3 και ειναι πολλαπλασια του 7. Ευκολα βρισκω οτι αυτοι ειναι οι 168, 861 και 231, οποτε οι αντιστοιχοι τετραψηφιοι ειναι οι 7168, 1687, 7861, 8617 (που θα συνενωθουν με τον 392) και 7231, 2317 (που θα συνενωθουν με τον 896): οι εξι λυσεις που βρισκω με την πολλαπλως ατελη μου μεθοδο ειναι οι 7168392, 1687392, 7861392, 8617392, 7231896, 2317896

[Αντε, δυο ακομη λυσεις που μας κανει δωρο ο 728: 6391728, 9163728 ]

Γιωργος Μπαλογλου

[gbaloglou]

Οπως βλεπω εδω, υπαρχουν συνολικα 105 λυσεις.

[Δεν υπαρχουν λυσεις στο αναλογο προβλημα για εννεα ή οκτω ψηφια (λογω 5 και 1+2+3+4+6+7+8+9 = 40, αντιστοιχα), στα εξι ψηφια εχουμε λυσεις οπως 273168* ή 483672, στα πεντε ψηφια λυσεις οπως 72184 ή 36792, στα τεσσερα ψηφια λυσεις οπως 1395, 1248, 1236, 1296, 1368, 3924, 3648, 4172, 1764, 9648, 3276, 8736, στα τρια ψηφια οι λυσεις ειναι 124, 412, 126, 162, 216, 612, 128, 132, 312, 135, 175, 184, 248, 264, 624, 324, 328, 384, 396, 936, 648, 864, 672, 714, 728, 735, 784, 824, και στα δυο ψηφια οι λυσεις ειναι 12, 15, 24, 36, 48 ]

*στα επτα ψηφια μου ειχε διαφυγει η διαιρετοτητα του 168 δια 7 και οι προκυπτουσες λυσεις 7329168, 3297168, 7392168, 3927168 -- ειναι δυσκολο να αποφυγει κανεις τα λαθη σ' αυτο το θεμα, αλλα θελω να ελπιζω πως στα 2-6 ψηφια εχω πιασει ολους τους δυνατους συνδυασμους ψηφιων

Γιωργος Μπαλογλου