Διαφορι-Κούλα 78

mathxl · #1

Να βρείτε όλες τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις $\displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to R}$ που ικανοποιούν την $\displaystyle{{x^2}\ln x \cdot f'\left( x \right) = 2x\ln xf\left( x \right) - 3xf\left( x \right),x > 0}$

Μέχρι 18-4-2012 διαφορικός λογισμός γ λυκείου

stavros11 · #2

Πολλαπλασιάζουμε με $\displaystyle{\frac{\ln^2 x}{x^4}}$ οπότε η διαφορική γίνεται: $\displaystyle{\frac{\ln^3 x}{x^2}f'(x)+\frac{(3x-2x\ln x)\ln^2 x}{x^4}f(x)=0}$

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\left( \frac{\ln^3 x}{x^2}\right)'=\frac{3x\ln^2 x-2x\ln^3 x}{x^4}=\frac{(3x-2x\ln x)\ln^2 x}{x^4}}$ , άρα ισχύει:

$\displaystyle{\frac{\ln^3 x}{x^2}f'(x)+\left( \frac{\ln^3 x}{x^2}\right)'f(x)=0\Rightarrow \left( \frac{\ln^3 x}{x^2}f(x)\right)'=0\Rightarrow \frac{\ln^3 x}{x^2}f(x)=c, \; c \in \mathbb{R}}$

Για $\displaystyle{x=1}$ παίρνουμε: $\displaystyle{c=\ln^3 1 \cdot f(1)=0}$ , άρα $\displaystyle{\frac{\ln^3 x}{x^2}f(x)=0\Rightarrow \ln^3 x \cdot f(x)=0}$ .
Οπότε για $\displaystyle{x\neq 1}$ είναι $\displaystyle{f(x)=0}$ . Λόγω συνέχειας (ή όπως μπορούμε να βρούμε εύκολα για $\displaystyle{x=1}$ στην αρχική) είναι $\displaystyle{f(1)=0}$ . Τελικά $\displaystyle{f(x)=0, \; x \in (0,+\infty )}$

mathxl · #3

Πολύ ωραία και συμμαζεμένα παρουσιασμένη λύση Σταύρε

. Βέβαια θέλει και δεύτερη ματιά αλλά και τρίτη για να κάνεις την συμμαζεμένη κίνηση με τον πολλαπλασιασμό εξ αρχής. Στο τέλος μας λείπει μια επαλήθευση αλλά μικρό το κακό.

Διαφορι-Κούλα 78

Διαφορι-Κούλα 78

Re: Διαφορι-Κούλα 78

Re: Διαφορι-Κούλα 78

Μέλη σε σύνδεση