Είναι πλευρές ισοπλεύρου τριγώνου (Γ Γυμν)

#1

Αν

είναι πλευρές τριγώνου και αν $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{3}$ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο

Μέχρι 21/11/11 - ΆλγεBρα Γ Γυμνασίου

sokratis lyras · #2

$3\left( a^2+b^2+c^2 \right) \ge \left( a+b+c \right)^2$ ...

Φιλικά,
Σωκράτης

parmenides51 · #3

καλό θα ήταν να βλέπουμε λύσεις που δεν χρησιμοποιούν γνωστές (για κάποιους) ανισότητες (διαγωνιστικές κοινώς),
άλλωστε η παρούσα άσκηση απευθυνόταν στον φάκελο της Γ' Γυμνασίου κι όχι των μαθηματικών διαγωνισμών

οπότε ζητείται (νέα) λύση έως 06 02 2011

ΑΡΣΕΝΟΗ · #4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Αν είναι πλευρές τριγώνου και αν $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{3}$ , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο

Μέχρι 21/11/11 - Άλγευρα Γ Γυμνασίου

Καλημέρα.

$\displaystyle{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{3}\Leftrightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=(a+b+c)^{2}\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}=a^{2} +b^{2} +c^{2}+2ab+2bc+2ca\Leftrightarrow$

$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ac=0}\Leftrightarrow$

$\displaystyle{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}=0}$

Για να είναι ίσο με

θα πρέπει:
$a-b=0\Leftrightarrow a=b$
$b-c=0\Leftrightarrow b=c$
$a-c=0\Leftrightarrow a=c$
απο τα παραπάνω παίρνουμε a=b=c

Είναι πλευρές ισοπλεύρου τριγώνου (Γ Γυμν)

Είναι πλευρές ισοπλεύρου τριγώνου (Γ Γυμν)

Re: Είναι πλευρές ισοπλεύρου τριγώνου (Γ Γυμν)

Re: Είναι πλευρές ισοπλεύρου τριγώνου (Γ Γυμν)

Re: Είναι πλευρές ισοπλεύρου τριγώνου (Γ Γυμν)

Μέλη σε σύνδεση