Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Μάκης Χατζόπουλος · #21

Γιούπι! Ή καλύτερα Ζιπ και Ζαπ!!

Α.Κυριακόπουλος · #22

ΠΕΡΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ.
Στο βιβλίο μου « ΥΠΟΨΗΦΙΑΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΩΤΕΡΑ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ»( έκδοση 1975, δεν κυκλοφορεί) στο κεφάλαιο περί απολύτων τιμών (σελίδα 58), μεταξύ των άλλων, είναι διατυπωμένο και αποδεδειγμένο το εξής θεώρημα:
« Για κάθε $\displaystyle{\alpha ,\varepsilon \in R}$ ισχύει η ισοδυναμία: $\displaystyle{\left| \alpha \right| < \varepsilon \Leftrightarrow - \varepsilon < \alpha < \varepsilon }$ ».
Απόδειξη. Για κάθε $\displaystyle{\alpha ,\varepsilon \in R}$ έχουμε:
• $\displaystyle{\left| \alpha \right| < \varepsilon \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon > \left| \alpha \right| \ge \alpha \\ \varepsilon > \left| \alpha \right| \ge - \alpha \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon > \alpha \\ \varepsilon > - \alpha \\ \end{array} \right. \Rightarrow - \varepsilon < \alpha < \varepsilon }$ .
• Αντιστρόφως. Έστω ότι: $\displaystyle{ - \varepsilon < \alpha < \varepsilon }$ .
i) Έστω ότι: $\displaystyle{\alpha \ge 0}$ . Τότε: $\displaystyle{\left| \alpha \right| = \alpha < \varepsilon }$ και άρα $\displaystyle{\left| \alpha \right| < \varepsilon }$ .
ii) Έστω ότι: $\displaystyle{\alpha < 0}$ . Τότε: $\displaystyle{\left| \alpha \right| = - \alpha < \varepsilon }$ (γιατί $\displaystyle{ - \varepsilon < \alpha \Rightarrow \varepsilon > - \alpha }$ ) και άρα $\displaystyle{\left| \alpha \right| < \varepsilon }$ .
Σχόλιο. Όταν θέλουμε να αποδείξουμε μια συνεπαγωγή $\displaystyle{p \Rightarrow q}$ (ή μια ισοδυναμία $\displaystyle{p \Leftrightarrow q}$ ) το συνηθισμένο λάθος είναι να ασχολούμαστε με το αν η p είναι πράγματι αληθής ή ψευδής. Κανένας δεν μας είπε να το ελέγξουμε, αφού δεν μας ζητάνε να αποδείξουμε ούτε την αλήθεια της p, ούτε την αλήθεια της q, αλλά την αλήθεια της συνεπαγωγής $\displaystyle{p \Rightarrow q}$ ( βλ. και εδώ: viewtopic.php?f=67&t=1492 , Παράγραφος 2.6). Αν αυτό δεν κατανοηθεί πλήρως, τότε θα υπάρχουν συνεχώς απορίες και μυστήρια στα μαθηματικά. Είτε το καταλαβαίνουμε είτε όχι, αυτή είναι η φιλοσοφία των μαθηματικών.
 Ας θεωρήσουμε τώρα δύο συναρτήσεις $\displaystyle{f:{\rm A} \to R}$ και $\displaystyle{g:{\rm B} \to R}$ με $\displaystyle{{\rm A} \cap {\rm B} \ne \emptyset }$ (πολυωνυμικές ή όχι- Η έκφραση: «Τα πολυώνυμα είναι πραγματικά» δεν έχει νόημα ) και ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να λύσουμε την ανίσωση: $\displaystyle{\left| {f(x)} \right| < g(x)}$ . Το σύνολο ορισμού τις ανίσωσης αυτής είναι $\displaystyle{{\rm A} \cap {\rm B}}$ . Σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, έχουμε για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {{\rm A} \cap {\rm B}} \right)}$ (αφού για κάθε τέτοιο x, f(x) και g(x) είναι δύο πραγματικοί αριθμοί):
$\displaystyle{\left| {f(x)} \right| < g(x) \Leftrightarrow - g(x) < f(x) < g(x)}$ .
Λύνουμε τώρα ( αν λύνονται) τις δύο τελευταίες ανισώσεις. Οι κοινές λύσεις των δύο αυτών ανισώσεων που ανήκουν στο σύνολο $\displaystyle{{\rm A} \cap {\rm B}}$ , είναι οι ζητούμενες λύσεις της αρχικής ανίσωσης.
Παράδειγμα. Να λυθεί οι ανίσωση: $\displaystyle{\left| {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right| < \frac{1}{x}}$ .
Ακολουθώντας τα παραπάνω βήματα, βρίσκουμε ότι οι λύσεις της ανίσωσης αυτής είναι οι αριθμοί x του διαστήματος $\displaystyle{\left( {0,\sqrt 2 - 1} \right)}$ .

#23

Κύριε Αντώνη, όμορφη και κομψή η απόδειξή σας! Σας ευχαριστώ!

Ερώτηση: Αν δείξουμε ότι δυο προτάσεις p,q

είναι ψευδείς, δεν αποδεικνύουμε και ότι η ισοδυναμία $p\Leftrightarrow q$ είναι αληθής;

paulgai · #24

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Ερώτηση: Αν δείξουμε ότι δυο προτάσεις είναι ψευδείς, δεν αποδεικνύουμε και ότι η ισοδυναμία $p\Leftrightarrow q$ είναι αληθής;

Φυσικά! Έχεις απόλυτο δίκιο. Αφού αν η

είναι ψευδής τότε η $p\to q$ αληθής για κάθε

(

αληθής ή ψευδής).
Λεπτομέρειες έχει και εδώ

Α.Κυριακόπουλος · #25

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Κύριε Αντώνη, όμορφη και κομψή η απόδειξή σας! Σας ευχαριστώ!
Ερώτηση: Αν δείξουμε ότι δυο προτάσεις είναι ψευδείς, δεν αποδεικνύουμε και ότι η ισοδυναμία $p\Leftrightarrow q$ είναι αληθής;

Αγαπητέ Αναστάση.
• Και βέβαια, αν αποδείξουμε ότι και οι δύο προτάσεις p και q είναι ψευδείς, τότε θα έχουμε απόδειξη ότι η ισοδυναμία $\displaystyle{p \Leftrightarrow q}$ είναι αληθής.
• Στο προηγούμενο μήνυμά μου, εκ παραδρομής, δεν έγραψα μια λέξη-κλειδί, που, αν δεν κάνω λάθος, είχε σαν αποτέλεσμα αυτό που με ρωτάς. Πρόκειται για τη λέξη «πράγματι», την οποία όπως θα είδες, όχι μόνο τη συμπλήρωσα στο προηγούμενο μήνυμα μου, αλλά και την υπογράμμισα. Με αυτά που γράφω εκεί, θέλω να πω το εξής:
Όταν έχουμε να αποδείξουμε μια συνεπαγωγή $\displaystyle{p \Rightarrow q}$ , δεν ασχολούμαστε με το αν η πρόταση p είναι πράγματι αληθής ή ψευδής. Υποθέσεις κάνουμε: α) Υποθέτουμε ότι η πρόταση p είναι ψευδής (δεν μας ενδιαφέρει αν αυτό πράγματι συμβαίνει). Τότε τελειώσαμε, αφού τότε η συνεπαγωγή είναι αληθής. β) Υποθέτουμε ότι η πρόταση p είναι αληθής (δεν μας ενδιαφέρει αν αυτό πράγματι συμβαίνει). Τότε θα πρέπει, ξεκινώντας από την p και με αληθείς συνεπαγωγές να φθάσουμε στην q.
Βεβαίως υπάρχουν και άλλοι τρόποι για να αποδείξουμε μια συνεπαγωγή $\displaystyle{p \Rightarrow q}$ , όπως για παράδειγμα η μέθοδος της εις άτοπο αγωγής, η μέθοδος της αντιστροφοαντιθέτου προτάσεως κτλ Αλλά όποιον τρόπο και να ακολουθήσουμε, πρέπει να έχουμε κατά νου ότι δεν μας ζητάνε να αποδείξουμε την αλήθεια της πρότασης p, ούτε την αλήθεια της πρότασης q,αλλά την αλήθεια της πρότασης: « $\displaystyle{p \Rightarrow q}$ ».(βλ. και εδώ: viewtopic.php?f=67&t=3901 )
Αγαπητέ Αναστάση.
Σου υπενθυμίζω κάτι που ασφαλώς το γνωρίζεις. Οι αλήθειες στα μαθηματικά δεν είναι απόλυτες. Είναι σχετικές, αφού εξαρτώνται από την αλήθεια των αξιωμάτων( σε κάθε μαθηματική θεωρία). Οι άνθρωποι που δεν ασχολούνται με τα μαθηματικά νομίζουν ότι οι αλήθειες στα μαθηματικά είναι απόλυτες. Ασφαλώς θα έχεις ακούσει να λένε για διάφορα ζητήματα : « Δεν γίνεται αλλιώς». Και για να το παρομοιάσουν με κάτι απόλυτο λένε: « 2+2 κάνουν 4». Όμως, εμείς οι μαθηματικοί γνωρίζουμε ότι το 2+2=4 προκύπτει από τα αξιώματα του σώματος των πραγματικών αριθμών. Και ότι αν αλλάξουμε έστω και ένα αξίωμα θα μπορούσε να ισχύει: 2+2=7. Δηλαδή, το 2+2=4 δεν είναι απόλυτο, αφού εξαρτάται από άλλες προτάσεις(τα αξίωμα)( αυτό ας μην το διατυμπανίζουμε και χάσει ο κόσμος την εμπιστοσύνη του στα μαθηματικά- χιούμορ).
Φιλικά.

#26

Είναι Σάββατο μεσημέρι, μαγειρεύω προς επιβίωση (σήμερα θα το προσέξω, δεν έχει...) και λέω παράλληλα να κάνω και το συνήγορο του Διαβόλου.
Ας πούμε πως ο Γιαννάκης , που πηγαίνει στην Α'Λυκείου, παρακολουθεί το συγκεκριμένο πόστ, ενθουσιάζεται με την αρμονία που προσφέρει στη μαθηματική συμπερασματολογία η μαθηματική λογική και την Τετάρτη , τσούπ, ο καθηγητής του του βάζει στο διαγώνισμα τετραμήνου την ίδια άσκηση που έθεσε στην αρχή και ο Αναστάσης...

Να λύσετε την ανίσωση:
|2χ+4| < χ+5.
Ενθουσιασμένος για την τύχη του ο Γιαννάκης, γράφει τη λύση, ''γράφοντας'' τους πατροπαράδοτους περιορισμούς στα παλαιότερα των υποδημάτων του.
Ερχόμενα τα αποτελέσματα , βλέπει πως ο καθηγητής του,του έχει αφαιρέσει τις μονάδες που αντιστοιχούν στους περιορισμούς.
Πως θα βρεί το δίκιο του;
Μιλώντας για το πόστ , εδώ στο φόρουμ;;
Δε θα ήταν άσχημο, μα θα δικαιωνόνταν στο τέλος;;
Με λίγα λόγια , ΣΩΣΤΑ θα του αφαιρούνταν μονάδες ή ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΑ;;
Ωχχ, κάτι μου μυρίζει! Κάηκε πάλι το φαγητό; Μπά οχι, ο γείτονας καίει κάτι παλιόχορτα...

#27

chris_gatos έγραψε:Είναι Σάββατο μεσημέρι, μαγειρεύω προς επιβίωση

Εγώ έχω βγεί παγανιά με τη σάρισα προς αναζήτηση τροφής. Μόλις βρήκα κάτι γογγύλια και λέω να τους ρίξω

Μάκης Χατζόπουλος · #28

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
chris_gatos έγραψε:Είναι Σάββατο μεσημέρι, μαγειρεύω προς επιβίωση

Εγώ έχω βγεί παγανιά με τη σάρισα προς αναζήτηση τροφής. Μόλις βρήκα κάτι γογγύλια και λέω να τους ρίξω

Χρήστο στην Παταγονία διορίστηκε;;; Αυτό δεν είναι ζωή αλλά το survivor!!

Α.Κυριακόπουλος · #29

chris_gatos έγραψε:Είναι Σάββατο μεσημέρι, μαγειρεύω προς επιβίωση (σήμερα θα το προσέξω, δεν έχει...) και λέω παράλληλα να κάνω και το συνήγορο του Διαβόλου.
Ας πούμε πως ο Γιαννάκης , που πηγαίνει στην Α'Λυκείου, παρακολουθεί το συγκεκριμένο πόστ, ενθουσιάζεται με την αρμονία που προσφέρει στη μαθηματική συμπερασματολογία η μαθηματική λογική και την Τετάρτη , τσούπ, ο καθηγητής του του βάζει στο διαγώνισμα τετραμήνου την ίδια άσκηση που έθεσε στην αρχή και ο Αναστάσης...
Να λύσετε την ανίσωση:
|2χ+4| < χ+5.
Ενθουσιασμένος για την τύχη του ο Γιαννάκης, γράφει τη λύση, ''γράφοντας'' τους πατροπαράδοτους περιορισμούς στα παλαιότερα των υποδημάτων του.
Ερχόμενα τα αποτελέσματα , βλέπει πως ο καθηγητής του,του έχει αφαιρέσει τις μονάδες που αντιστοιχούν στους περιορισμούς.
Πως θα βρεί το δίκιο του;
Μιλώντας για το πόστ , εδώ στο φόρουμ;;
Δε θα ήταν άσχημο, μα θα δικαιωνόνταν στο τέλος;;
Με λίγα λόγια , ΣΩΣΤΑ θα του αφαιρούνταν μονάδες ή ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΑ;;
Ωχχ, κάτι μου μυρίζει! Κάηκε πάλι το φαγητό; Μπά οχι, ο γείτονας καίει κάτι παλιόχορτα...

Αγαπητέ φίλε Χρήστο.
1) Ίσως δεν πρόσεξες ότι στην αρχή του μηνύματος γράφω: ΠΕΡΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ.
2) Όταν έγραφα το μήνυμα είχα την αίσθηση ότι κάνω μια κουβέντα μεταξύ συναδέλφων και ότι σε καμιά περίπτωση δεν απευθυνόμουν σε μαθητές.
3) Αν ο Γιαννάκης τύχαινε να διαβάσει το μήνυμά μου και στο διαγώνισμα έλυνε την ανίσωση που αναφέρεις με τον τρόπο που περιγράφω εκεί, τότε τα εξής δύο θα μπορούσαν να συμβούν:
α) Ο καθηγητής του να τον βαθμολογήσει με άριστα . Τότε ο Γιαννάκης θα έπαιρνε θάρρος και θα άρχιζε να αγαπάει και να διαβάζει ακόμα περισσότερο τα μαθηματικά.
β) Ο καθηγητής του να θεωρήσει λανθασμένη τη λύση και να του αφαιρέσει μονάδες, για έναν από τους εξής δύο λόγους:
i) Γιατί δεν γνωρίζει ότι η λύση αυτή είναι σωστή. Την περίπτωση αυτή την αφήνω να την κρίνεις μόνος σου.
ii) Γιατί, αν και γνωρίζει ότι η λύση αυτή είναι σωστή, θέλει να είναι τυπικός με το σχολικό βιβλίο. Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι την περίπτωση αυτή την θεωρώ χειρότερη από την προηγούμενη. Ο καθηγητής δεν πρέπει να έχει παρωπίδες.
Και στις δύο αυτές περιπτώσεις, το μόνο που έχω να πω είναι ότι ο Γιαννάκης θα ήταν άτυχος. Ίσως και να απογοητευόταν. Ίσως ακόμα και να μισούσε τα μαθηματικά.
• Οι καθηγητές δεν λέγονται «υπάλληλοι» αλλά «λειτουργοί». Αυτό σημαίνει ότι μπορούν να διαμορφώνουν ελεύθερα το μάθημά τους και κανένας δεν θα τους κατηγορήσει αν προσπαθήσουν να ανοίξουν τα μάτια των παιδιών πέρα και από το σχολικό βιβλίο.
Αγαπητέ Χρήστο. Όπως πολύ καλά γνωρίζεις, τα πάντα εξαρτώνται από τον καθηγητή. Ο καθηγητής φτιάχνει το μάθημα και ο καθηγητής το χαλάει ( σε όλες τις βαθμίδες της εκπαίδευσης). Από τον καθηγητή εξαρτάται αν οι μαθητές θα αγαπήσουν ή θα μισήσουν τα μαθηματικά. Ας φροντίσουμε λοιπόν, εμείς οι ίδιοι να γίνουμε καλύτεροι και άξιοι να φέρουμε το όνομα του «δασκάλου», οπότε υπάρχει ελπίδα όλα να πάνε καλύτερα.
Με εκτίμηση και αγάπη.

#30

Kύριε Αντώνη

Στέλνοντας το μεσημέρι και κάνοντας το συνήγορο του διαβόλου, απευθυνόμουν σε όλους τους συναδέλφους και οχι
μόνο σε εσάς.
Ήξερα εκ των προτέρων πως ΚΑΝΕΝΑΣ δε θα λάβει θέση, όσον αφορά τη ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗ του μαθητή.
Αν μη τι άλλο , εδω μέσα μαζί σας έχω ξαναέλθει σε επαφή (και θέλω πολύ δουλειά ακόμα) με τη μαθηματική λογική και
αναγνωρίζω 100% την αξία της , μα ορισμένες φορές νιώθω πως το παρατραβάμε το σχοινί, πάντα ως προς αυτά που περιμένουμε απο τα παιδιά...
Θα κάνουμε επαλήθευση, δε θα κάνουμε επαλήθευση . Θα βάλουμε περιορισμούς, δε θα βάλουμε περιορισμούς.
Γι αυτό και σε μια απο τις απαντήσεις μου στο πόστ ανέφερα και τον ποιητή Φανφάρα (φιγούρα απο την έξοχη σπονδυλωτή ελληνική ταινία ,''Ξύπνα Βασίλη''), γιατί αν ήμουν μαθητής μετά απο όλα αυτά πραγματικά θα ζαλιζόμουν και θα ήθελα να ..απαγγείλω.
Επαναλαμβάνω πως σέβομαι απεριόριστα τη δύναμη της μαθηματικής λογικής καθώς και τους ανθρώπους που την κατέχουν τέλεια (εδώ για εσάς χτυπάει η καμπάνα), μα ως δάσκαλοι (εμένα μου αρέσει να αυτοαποκαλούμαι ''ανθυποκαθηγητίσκος'')
θα έπρεπε να σκεφτούμε με ποιόν τρόπο τα παιδιά θα μισήσουν λιγότερο τα μαθηματικά. Και ακόμη καλύτερα: να τα αγαπήσουν και να θελήσουν να τα κατακτήσουν.
Ξέρω πως κι εσάς σας ενδιαφέρει αυτό.
Να είστε καλά και σας ευχαριστώ θερμότατα.

Α.Κυριακόπουλος · #31

Αγαπητέ φίλε Χρήστο(Κυριαζή).
• Εδώ έχουμε φθάσει στο σημείο να τα γράφει σωστά ο μαθητής και να φοβάται μήπως ο καθηγητής (ή ο βαθμολογητής στις Πανελλαδικές Εξετάσεις) δεν τα ξέρει και του αφαιρέσει μονάδες.
• Δεν ισχυρίζομαι ότι αυτά πρέπει οπωσδήποτε να τα διδάσκουμε στους μαθητές. Αν όμως ένας μαθητής τα ξέρει πρέπει να τον τιμωρήσουν γι' αυτό, αφαιρώντας του μονάδες; Έλεος!!!

Tkostas · #32

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Αγαπητέ φίλε Χρήστο(Κυριαζή).
• Εδώ έχουμε φθάσει στο σημείο να τα γράφει σωστά ο μαθητής και να φοβάται μήπως ο καθηγητής (ή ο βαθμολογητής στις Πανελλαδικές Εξετάσεις) δεν τα ξέρει και του αφαιρέσει μονάδες.
• Δεν ισχυρίζομαι ότι αυτά πρέπει οπωσδήποτε να τα διδάσκουμε στους μαθητές. Αν όμως ένας μαθητής τα ξέρει πρέπει να τον τιμωρήσουν γι' αυτό, αφαιρώντας του μονάδες; Έλεος!!!

Κύριε Κυριακόπουλε ορμώμενος από το σχόλιο σας θα πρότεινα στο forum να ανοίξει ένα πεδίο με τα διάφορα τραγεγλαφικά που συμβαίνουν με συναδέλφους μαθηματικούς σε σχολεία.Διδάσκω σε φροντηστήριο και αυτό που τραβάω δεν εχει τελειωμό με έναν εντελώς αντιπαιδαγωγικό καθηγητή.Είναι απο αυτους που κανουν τους μαθητές να αποστρέφονται τα μαθηματικά και πραγματικά έχω εκνευριστεί.
Κάποια παραδείγματα.Κατα την επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης απαιτεί οι μαθητές να γνωρίζουν τις ρίζες τις χωρίς να λύσουν την αντίστοιχη πολυωνυμική εξίσωση μετατρέποντάς την σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων αν είναι δυνατόν.Στην εύρεση προσήμου ακολουθεί τη μέθοδο με το εναλλάξ πρόσημο και την πολλαπλότητα της ρίζας...και όχι τον προδιορισμό του προσήμου του κάθε παράγοντα ξεχωριστά το οποίο για αρχή για τους μαθητές είναι και κάπως ποιο λογικό αφού γνωρίζουν καλύτερα τον κανόνα προσήμων του γινομένου και του πηλίκου αλλά δεν έχουν ιδέα για την πολλαπλότητα της ρίζας.

Στην απλοποιήσησ παραστάσεων που περιέχουν απόλυτες τιμές στην Α λυκείου αφορίζει τους πίνακες προσήμων...και αν περιέχονται πανω από δυο απόλυτες τιμές με διαφορετικό περιεχόμενο???
Να μην αναφερθώ σε εκφράσεις του μέσα στη τάξη προς τους μαθητές.Συνερίζεται τους μαθητές.Ημαρτον.
Νομίζω ότι ξέφυγα..αλλά θέλω να τα πω και δεν ξέρω που .Είναι ακόμη ένας σπασίκλας μαθηματικός που χαλάει τη πιάτσα νομίζω.χεχε

Στέλιος Μαρίνης · #33

Ας πω κι εγώ τη γνώμη μου.
α) Για κάθε πραγματικό θ ισχύει η εν λόγω ισοδυναμία (έχει εξηγηθεί κι από άλλους)
β) Το σχολικό βιβλίο δεν δίνει αυτή την πρόταση, αλλά άλλη με περιορισμό του θ στους θετικούς
γ) Τυπικά, η χρήση προτάσεως που δεν περιέχεται στο σχολικό εγχειρίδιο δεν είναι αποδεκτή, άρα η λύση δεν είναι πλήρης, αφού λείπει η απόδειξη της προτάσεως που χρησιμοποιήθηκε.
δ) Σε ό,τι αφορά τη βαθμολόγηση της λύσης, ο καθηγητής θα κρίνει αν η παράλειψη είναι αποτέλεσμα ολιγωρίας ή (υποσυνείδητης έστω) γνώσης ότι το αποτέλεσμα είναι σωστό. Η βαθμολόγηση, κατά την άποψή μου, δεν πρέπει να μένει στο τυπικό του πράγματος, αλλά να στοχεύει στη βελτίωση του μαθητή. Έτσι, τελικά, κάθε καθηγητής, ανάλογα με τον κάθε μαθητή μπορεί να βάλει το βαθμό που κρίνει.
Θυμίζω κάπως παρόμοιο ζήτημα που τίθεται με την επίλυση εξίσωσης με άρρητες παραστάσεις. Σε μια εξίσωση της μορφής $\sqrt{f(x)}=g(x)$ είναι αναγκαίος ο περιορισμός f(x)>=0 ;
Διόρθωσα τη συνάρτηση του περιορισμού. Αρχικά έγραφα g(x)>=0

Μάκης Χατζόπουλος · #34

Στέλιος Μαρίνης έγραψε: Θυμίζω κάπως παρόμοιο ζήτημα που τίθεται με την επίλυση εξίσωσης με άρρητες παραστάσεις. Σε μια εξίσωση της μορφής $\sqrt{f(x)}=g(x)$ είναι αναγκαίος ο περιορισμός g(x)>=0 ;

Στέλιο δεν έχω μονολεκτική απάντηση...

Α τρόπος: Βάζουμε περιορισμό στην συνάρτηση g και την λύνουμε κανονικά και όπου χρειαστεί βάζουμε ξανά περιορισμούς
Β΄τρόπος: Δεν βάζουμε κανένα περιορισμό αλλά τις λύσεις που βρίσκουμε τις συναληθεύουμε

ότι και να πράξουμε νομίζω ότι έχουμε σωστό αποτέλεσμα, τι λες Στέλιο;

Στέλιος Μαρίνης · #35

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:
Στέλιος Μαρίνης έγραψε: Θυμίζω κάπως παρόμοιο ζήτημα που τίθεται με την επίλυση εξίσωσης με άρρητες παραστάσεις. Σε μια εξίσωση της μορφής $\sqrt{f(x)}=g(x)$ είναι αναγκαίος ο περιορισμός g(x)>=0 ;
Στέλιο δεν έχω μονολεκτική απάντηση...

Α τρόπος: Βάζουμε περιορισμό στην συνάρτηση g και την λύνουμε κανονικά και όπου χρειαστεί βάζουμε ξανά περιορισμούς
Β΄τρόπος: Δεν βάζουμε κανένα περιορισμό αλλά τις λύσεις που βρίσκουμε τις συναληθεύουμε

ότι και να πράξουμε νομίζω ότι έχουμε σωστό αποτέλεσμα, τι λες Στέλιο;

Έκανα λάθος ερώτηση. Ήελα να γράψω αν χρειάζονται περιορισμοί για την υπόριζη ποσότητα. Πρόκειται για χιλιοσυζητημένο και απαντημένο ζήτημα.

#36

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 04, 2009 12:16 pm

Ας υποθέσουμε ότι σε κάποιο διαγώνισμα της Α' Λυκείου είχε τεθεί το θέμα: Ας λυθεί η ανίσωση και
κάποιος μαθητής είχε γράψει το ακόλουθο:

$|2x+4|<x+5\Leftrightarrow-x-5<2x+4<x+5\Leftrightarrow(-x-5<2x+4)$ και $(2x+4<x+5)\Leftrightarrow(x>-3)$ και $(x<1)\Leftrightarrow-3<x<1$ .

Θα το βαθμολογούσαμε ως σωστό ή θα κοβόταν η λύση γιατί σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο ήταν επιβεβλημένο να τεθούν περιορισμοί για το πρόσημο του ......;

Τυχαία έπεσα σε αυτήν την συζήτηση από τα παλιά (τότε δεν την είχα δει).

Με βάση την μαθηματική λογική (η οποία όπως έχει πει και ο Αντώνης Κυριακόπουλος, δεν συμπίπτει πάντα με την κοινή λογική),
η ισοδυναμία $\displaystyle{|x|<k \Leftrightarrow -k<x<k}$ είναι αληθής για κάθε $\displaystyle{k\in R}$ .
(Αληθές $\displaystyle{\Leftrightarrow}$ Αληθές , Ψευδές $\displaystyle{\Leftrightarrow}$ Ψευδές)
Με δεδομένο όμως ότι η μαθηματική λογική δεν διδάσκεται εδώ και πολλά χρόνια στο σχολείο, δεν μπορούμε να δεχθούμε ως σωστή
την αντιμετώπιση της άσκησης από έναν μαθητή με αυτόν τον τρόπο. Το πιο πιθανό είναι ότι ο μαθητής αυτός, αγνόησε τον περιορισμό
που αναφέρεται στο βιβλίο. Θα δεχόμουν προσωπικά σωστό τον τρόπο του, αν σε συζήτηση μαζί του με έπειθε ότι το έγραψε συνειδητά
επειδή είχε μελετήσει την μαθηματική λογική.

Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Re: Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Re: Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Re: Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Re: Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Re: Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Re: Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Re: Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Re: Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Re: Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Re: Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Re: Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Re: Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Re: Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Re: Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Re: Προβληματισμός σχετικά με τις απόλυτες τιμές

Re: Προβληματισμός

Μέλη σε σύνδεση